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关于期望相关证明的技巧

时间:2023-11-03 20:13:13浏览次数:26  
标签:期望 技巧 Min sum 或同 证明 正确性 情况

1、线性性

E(x+y) = E(x) + E(y)

这是最基础的,可以用组合的想法理解,本质就是所谓的“拆开计数”

这里最强大的一点在于,不要求变量之间的独立性,以下2个例子都展示了这一点。

2、如果式子是求和,则可以考虑在每一个情况上证明式子的正确性,从而说明期望整体的正确性。(要求情况之间,和情况内部都是加法或同一种运算)

)Eg.1 证明Min-Max 容斥正确性

考虑一个集合,每一个是一个pair<p,stu>,表示概率,和这个情形

把这个情况直接代入公式,拆掉E,max(S) = sum((-1)^(|T|+1)min(T)),T为S非空子集

发现正确性为 Min-Max 容斥的基础情况

由于式子里面符合“要求情况之间,和情况内部都是加法或同一种运算”,故sum换一种顺序,就证明了期望意义下的正确性

sum换一种顺序和“拆开计数”本质相同,也就是说Min-Max容斥期望意义上的正确性实际上是线性性的一种表现方式

)Eg.2 证明vhttps://www.luogu.com.cn/problem/CF895E 里面期望公式的正确性

由于这个东西具有相关性,感性理解比较奇怪,但是我们可以理性说明。

它符合“要求情况之间,和情况内部都是加法或同一种运算”,所以和上面一样,每一个情况,代入公式算,发现正确即可

标签:期望,技巧,Min,sum,或同,证明,正确性,情况
From: https://www.cnblogs.com/pp-orange/p/17808309.html

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