3.3.1 带隙电压基准概念
在模拟电路模块，尤其是数据转换模块中，一个非常重要的组件是电压参考。理想情况下，这个模块输出一个固定的已知幅度的直流电压，并且不随温度发生变化。通过这个模块再结合一个精确的电阻可以提供一个稳定的直流电流。有一系列手段可以产生集成电路中的电压参考，具体方式如下：
- 利用一个反向偏置的，在已知电压下击穿的稳压二极管来实现
- 利用增强型晶体管和耗尽型晶体管之间的阈值电压差来实现
- 利用一个负温度系数的pn结和一个真温度系数的PTAT（正比例于绝对温度）电路相互抵消来实现
第一种方式由于稳压二极管的击穿电压显著高于现代集成电路的电源而不再流行。第二种方式在耗尽型晶体管不可用的情况下（多数情况下如此）不能使用。此外尽管其可以产生稳定的参考，但参考的实际值由于增强型器件和耗尽型器件的阈值电压对工艺的敏感而很难精确确定。处于以上原因，第一个和第二个方式这里都不考虑。最后一种方式是双极型和CMOS工艺都最常采用的方法，我们将对其进行讨论。最后一种产生电压参考的方式一般被称为"带隙"电压基准。
如之前所述，带隙电压基准的原理是将一个有着负温度系数的正向偏置的二极管的电压与一个正比例于温度的电压相减。这个PTAT电压通过放大两个正向偏置的二极管的压差来实现。一个带隙基准的系统简图如下图所示：
一个正向偏置双极型晶体管的基极-射极结的I-V关系式为：
\[I_c=I_se^{qV_{BE}/kT} \tag{3.3.1} \]其中\(I_s\)是晶体管的饱和电流，并且高度依赖于温度。
将基极-射极结的电压写为一个集极电流和温度的函数，其可以表达如下[Brugler, 1967; Tsividis, 1980]：
\[V_{BE}=V_{G0}(1-\frac{T}{T_0})+V_{BE0}\frac{T}{T_0}+\frac{mkT}{q}ln(\frac{T_0}{T})+\frac{kT}{q}ln(\frac{J_c}{J_{c0}}) \tag{3.3.2} \]其中，\(V_{G0}\)是硅在0K下的带隙电压（大约1.206V），\(k\)是玻尔兹曼常数，\(m\)是温度常数，大约等于2.3。\(J_c\)和\(T\)分别是集极电流密度和温度，\(T_0\)代表特定的参考温度，\(J_{c0}\)是参考温度\(T_0\)下的集极电流密度，\(J_{c}\)是真实温度\(T\)下的集极电流密度。同时，\(V_{BE0}\)是参考温度\(T_0\)下的结电压，\(V_{BE}\)是真实温度\(T\)下的基极-射极结的电压。注意结电流于结电流密度遵循下面的关系式：
\[I_c=A_EJ_c \tag{3.3.3} \]其中\(A_E\)是基极-射极结的有效面积。如果\(I_c\)固定，\(V_{BE}\)在室温附近大概有\(-2mV/K\)的温度依赖性。这个负温度系数通过一个PTAT正温度系数进行抵消。PTAT正温度系数通过经两个偏置在固定但不同的电流密度下的基极-射极结的压差通过放大器放大后产生。使用公式\((3.3.2)\)，可以发现但两个基极-射极结分别偏置在电流密度\(J_1\)和\(J_2\)下时，他们的结电压差为：
\[\Delta V_{BE}=V_2-V_1=\frac{kT}{q}ln(\frac{J_2}{J_1}) \tag{3.3.4} \]因此，结电压的差值正比于绝对温度。这个比例非常精确，即使集极电流是温度依赖的也能保持，只要它们的比值保持固定。
例题1：
假定两个晶体管被偏置在电流密度比为10：1，\(T=300K\)的条件下，他们的集极-射极的电压差会是多少，温度系数又是多少？
解答：
根据\((3.3.4)\)，我们有：
\[\Delta V_{BE}=\frac{kT}{q}ln(\frac{J_2}{J_1})=\frac{1.38\times 10^{-23}(300)}{1.602\times10^{-19}}ln(10)=59.5mV \tag{3.3.5} \]由于电压正比于绝对温度，在温度增大\(1K\)后，电压差为：
\[\Delta V_{BE}=59.5mV\frac{301}{300}=59.7mV \tag{3.3.6} \]因此，正温度系数为\(59.5mV/300K\)，或者说\(0.198mV/K\)。由于\(V_{BE}\)的温度系数为\(-2mV/K\)，如果想要对其进行抵消，那么就需要将\(\Delta V_{BE}\)放大10倍。
在实现一个带隙电压参考时，尽管输出电压是独立于温度的，但结电流仍然和绝对温度成正比（假定使用的电阻是温度独立的）。因此，为了简化推导，我们首先假定结电流正比例于绝对温度，后续我们会在描述电路时验证这个正比例关系。因此我们首先假定：
\[\frac{J_i}{J_{i0}}=\frac{T}{T_0} \tag{3.3.7} \]其中\(J_i\)时第i个晶体管的集极电流密度，\(J_{i0}\)是参考温度下的电流密度。
现在，假定两个基极-射极的压差经过\(K\)倍放大并与有着大电流密度的基极-射极结电压相加，根据\((3.3.4)\)和\((3.3.7)\)以及\((3.3.2)\)，我们有：
\[V_{ref}=V_{BE2}+K\Delta V_{BE}= V_{G0}+\frac{T}{T_0}(V_{BE{0-2}}-V_{G0})+(m-1)\frac{kT}{q}ln(\frac{T_0}{T})+K\frac{kT}{q}ln(\frac{J_2}{J_1}) \tag{3.3.8} \]上式给出了带隙电压参考的输出电压和温度的关系，其中\(V_{BE0-2}\)是第二个晶体管在\(T_0\)温度下的基极-射极结电压。如果我们想要在特定的温度实现零温度系数，那么我们可以对\((3.3.8)\)进行微分，并使其在特定的参考温度下等于零，从\((3.3.8)\)中我们可以得到：
\[\frac{\partial V_{ref}}{\partial T}=\frac{1}{T_0}(V_{BE0-2}-V_{G0})+K\frac{k}{q}ln(\frac{J_2}{J_1})+(m-1)\frac{k}{q}[ln(\frac{T_0}{T})-1] \tag{3.3.9} \]令\(T=T_0\)时\((3.3.9)\)为零，我们可以看到为了使得参考电压时有零温度系数，我们需要：
\[V_{BE-2}+K\frac{kT_0}{q}ln(\frac{J_2}{J_1})=V_{G0}+(m-1)\frac{kT_0}{q} \tag{3.3.10} \]公式\((3.3.10)\)的左侧时\(T=T_0\)时根据\((3.3.8)\)得到的输出电压\(V_{ref}\)。因此为了实现\(T=T_0\)时的零温度系数，我们需要：
\[V_{ref-0}=V_{G0}+(m-1)\frac{kT_0}{q} \tag{3.3.11} \]对于\(T_0=300K\)的特定情况，\(m=2.3\)时，\((3.3.11)\)化为：
\[V_{ref-0}=1.24V \tag{3.3.12} \]此时的输出电压\(V_{ref}\)是零温度系数的。注意这个值独立于选择的电流密度。因此，假如选择了更大的电流密度，那么\(K\)必须要适当减小来获得正确的输出参考电压。在高精度的集成电压参考中，会通过在晶圆测试阶段进行修调来得到正确的输出电压。从\((3.3.10)\)中可知，对于\(K\)的要求是：
\[K=\frac{V_{G0}+(m-1)kT_0/q-V_{BE0-2}}{(kT_0/q)ln(J_2/J_1)}=\frac{1.24-V_{BE0-2}}{0.0258\times ln(J_2/J_1)} \tag{3.3.13} \]上式中温度为\(300K\)。
现在我们清楚为什么要叫做带隙电压参考了。具体来说，为了实现零温度系数，带隙电压参考的输出通过带隙电压与一个小的考虑二阶效应的修正项相加得到。
当实际温度与参考温度不同时，参考输出的电压通过将\((3.3.10)\)和\((3.3.11)\)代入\((3.3.8)\)来得到，经过几步简化之后，结果为：
\[V_{ref}=V_{G0}+(m-1)\frac{kT}{q}[1+ln(\frac{T_0}{T})] \tag{3.3.14} \]并且：
\[\frac{\partial V_{ref}}{\partial T}=(m-1)\frac{k}{q}ln(\frac{T_0}{T}) \tag{3.3.15} \]这些方程可以用于估计当实际温度与参考温度不同时电压参考输出的温度系数。接下来我们将讨论一个带隙电压参考的具体实现。
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