最后修改日期：2023/10/17
1. 简介
1.1. 温度对电源的影响
半导体受温度的影响很明显，因此温度的变化会使得电源的输出电压变化，称为温度漂移（温漂）。
1.2. 限制温度的影响
如果想要限制温度对电源的影响，一个思路就是：找到与温度正相关、负相关的电路，将二者的电压以合适的权重相加（线性电路满足叠加原理），这样总的电压的温度系数就被消去，因此总电路不受温度影响。
假设有两个关于温度线性变化的电路，不妨设它们各自的电压满足关系式：
\[\frac{\partial V_1}{\partial T}=C_1>0, \frac{\partial V_2}{\partial T}=C_2<0 \]那么总是能找到一组系数\(\alpha_1, \alpha_2\)，使得：
\[\alpha_1\frac{\partial V_1}{\partial T}+\alpha_2\frac{\partial V_2}{\partial T}=0 \]因此二者的总电压就是与温度无关的：
\[V=\alpha_1V_1+\alpha_2V_2, \frac{\partial V}{\partial T}=0 \]这样就实现了0温度系数的参考源电路。
2. 带隙基准源
带隙基准源（Bandgap Reference）是精度较高、使用较多的一类参考源电路。其使用一个BJT的BE结（温度系数=-2 mV/℃）和一个热电压\(V_T\)偏差的电路（温度系数=0.085 mV/℃）。
2.1. 求解一对面积之比为\(1:A\)的BE结
已知PN结的伏安表达式为
\[I=I_s(e^{\frac{V}{V_T}}-1), V_T=\frac{kT}{q}\approx26\text{ mV}@T=300\text{ K} \]当PN结正偏时，一般有\(V\gg V_T\)，所以可以近似为
\[I\approx I_se^{\frac{V}{V_T}} \]反解得到
\[V=V_T\ln{\frac I{I_s}} \]2.2. 带隙基准源电路1
所以对于以上的电路有：
\[\Delta V_{BE}=V_{BE1}-V_{BE2}=V_T\ln{\frac I{I_s}-V_T\ln{\frac I{nI_s}}}=V_T\ln n \]\[\frac{\partial\Delta V_{BE}}{\partial T}=\frac kq \ln n \]
所以对于以上的电路有：
\[V_{XZ}=V_T\ln n \]由运放虚短容易得到：
\[\frac{V_{out}-V_X}{R_2}=\frac{V_X-V_Z}{R_3}=\frac{V_T\ln n}{R_3} \]解得：
\[V_{out}=V_X+\frac{R_2}{R_3}V_T\ln n=V_{BE1}+\frac{R_2}{R_3}V_T\ln n\tag{1} \]所以：
\[\frac{\partial V_{out}}{\partial T}=\frac{\partial V_{BE1}}{\partial T}+\frac{R_2k}{R_3q}\ln n=0\tag{2} \]2.2.1. 最简化的半导体物理计算
根据半导体物理知识[1]：
\[J_s\propto T^{3+\frac\gamma 2}\exp\left(-\frac{E_g}{kT}\right)=T^{3+\frac\gamma 2}\exp\left(-\frac{qV_{g}}{kT}\right) \]上式中，\(\gamma\)代表\(D_n/\tau_n\propto T^\gamma\)，\(V_g\)是禁带宽度对应的电势差。不妨将正比系数定义为\(B\)，则：
\[I_s=AJ_s=ABT^{3+\frac\gamma2}\exp\left(-\frac{V_g}{V_T}\right) \]\[I\approx I_s\exp\left(\frac V{V_T}\right)=ABT^{3+\frac\gamma2}\exp\left(\frac{V-V_g}{T}\right)\tag{3} \]参照[2]的方法，假设一个已知的温度\(T_0\)，这个温度下的所有量都加上下标 “0”：
\[I_0=ABT_0^{3+\frac\gamma2}\exp\left(\frac{V_0-V_{g0}}{T_0}\right)\tag{4} \]这里假设\(V_g=V_{g0}\)，将\((3)\)与\((4)\)相除，得到：
\[\frac{I}{I_0}=\left(\frac T{T_0}\right)^{3+\frac\gamma 2}\exp\left(\frac{V-V_g}{V_T}-\frac{V_0-V_g}{V_{T0}}\right) \]反解得到：
\[V=V_g+\frac T{T_0}(V_0-V_g)+V_T\ln\frac I{I_0}-\left(3+\frac\gamma 2\right)V_T\ln\frac{T}{T_0}\tag{5} \]只考察电压的变化，因此假设\(I\approx I_0\)，则第三项为0。然后注意到，第四项是对数函数，相较于第二项一次函数来说很小，可以忽略。所以\((5)\)化为：
\[V=V_g+\frac T{T_0}(V_0-V_g)\tag{6} \]以上求得的是一个PN结的电压，可以是BJT的\(V_{BE}\)。取合适的参数值可以使得\((2)\)成立，即：
\[\frac{V_0-V_g}{T_0}+\frac{R_2}{R_3}\frac kq\ln n=0\implies\frac{R_2}{R_3}\frac{k T}{q}\ln n=-\frac{T}{T_0}(V_0-V_g)\tag{7} \]代入\((1)\)，得到：
\[V_{out}=V_{BE}+\frac{R_2}{R_3}V_T\ln n=\textcolor{red}{V_g}\tag{8} \]由此可知，带隙基准源的输出点电压就是\(V_g\)，这只与半导体的禁带宽度（带隙）有关（对于硅，\(V_g=1.170\text{ V}\)），这也是其名称的来源。
输出点电压为\(V_g\)，并且在\(T_0\)温度附近具有0温度系数.但是当温度偏离\(T_0\)时温度系数也不再为0，带隙基准源的电压也不恒定。因此带隙基准源依然是有一定的使用温度范围的，只是在此温度范围内温度系数非常接近0。
2.2.2. 简化是否合理
以上计算过程用到了多处简化。
2.2.2.1. 禁带宽度近似于温度无关
其实禁带宽度与温度是有关的。由半导体物理可知公式：
\[E_g(T)=E_g(0)-\frac{\alpha T^2}{T+\beta}\implies V_g(T)=V_g(0)-\frac{\alpha T^2}{q(T+\beta)} \]对于硅半导体，有\(\alpha=4.73\times10^{-4}\text{ eV/K}, \beta=636\text{ K}, V_g(0)=1.170\text{ V}\)。
一般温度在300K量级，因此\(V_g(0)-V_g(300)=0.0455\text{ V}\)，相较于1.170 V来说还是很小的，因此认为\(V_g\)不变也是合理的。
2.2.2.2. 对数项是否可以省略
考察\((5)\to(6)\)的省略是否合理。将\((5)\)的最后一项进行一阶Taylor展开：
\[-\left(3+\frac\gamma 2\right)\frac{kT}{q}\ln\frac T{T_0}=\frac{k(6+\gamma)(T-T_0)}{2q}+O(T-T_0)^2\approx\left(3+\frac\gamma 2\right)V_T\frac{T-T_0}{T} \]不妨假设\(V_T\sim(V_0-V_g)\)。但有\(\frac{T}{T_0}>1, \frac{T-T_0}{T}<1\)。当\(T_0\)接近\(T\)时，后者会接近于0，比前者小很多，因此可以省略。
2.2.2.3. 实际上PN结不满足Shockley方程
根据半导体物理，硅材料的PN结在电流不小的时候是不满足如\((9)\)所示的Shockley方程的：
\[J=J_s\left(\exp\left(\frac{qV}{kT}\right)-1\right)\tag{9} \]实际上正向大电流满足的公式如\((10)\)所示：
\[J_F\propto \exp\left(\frac{qV}{mkT}\right), m\in[1,2] \]如果这样的话以上计算就都不成立了。不过实际上在半导体物理里面也就只是提到了这个效应，在理论计算时该用Shockley方程还是会用的。所以这里也就不纠结这种细节了。
《半导体物理学（第7版）》，刘恩科等，电子工业出版社 ↩︎