动态规划-爬楼梯问题

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

我们用 f(x) 表示爬到第 x 级台阶的方案数，考虑最后一步可能跨了一级台阶，也可能跨了两级台阶，所以我们可以列出如下式子：

f(x)=f(x−1)+f(x−2)

它意味着爬到第 x级台阶的方案数是爬到第x−1级台阶的方案数和爬到第x−2级台阶的方案数的和。

很好理解，因为每次只能爬 1级或 2级，所以 f(x) 只能从 f(x−1) 和 f(x−2)转移过来，而这里要统计方案总数，我们就需要对这两项的贡献求和。

以上是动态规划的转移方程，下面我们来讨论边界条件。我们是从第 0 级开始爬的，所以从第 0 级爬到第 0 级我们可以看作只有一种方案，即 f(0)=1；从第0级到第1级也只有一种方案，即爬一级，f(1)=1。这两个作为边界条件就可以继续向后推导出第 n级的正确结果。我们不妨写几项来验证一下，根据转移方程得到 f(2)=2，f(3)=3，f(4)=5，……，我们把这些情况都枚举出来，发现计算的结果是正确的。

public static int climbStairs(int n) {
        int p = 0, q = 0, r = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            p = q; 
            q = r; 
            r = p + q;
        }
        return r;
    }

力扣官方题解链接：https://leetcode.cn/problems/climbing-stairs/