文章目录
诱导公式
- 锐角的三角函数是简单易求(易于表示)
- 对于任意角之间,其各个三角函数之间存在某些关系需要讨论
- 最基础最常用的三角函数诱导公式口诀
同终边角
- 在直角坐标系中,
,
的终边相同,则由三角函数定义,容易知道这两个的三角函数相等
任意角的三角函数周内化
- 根据同终边角三角三角函数的关系,所有绝对值超过一周(
或
)的任意角都可以转换为绝对值小于
相反角
的相反角为
- 显然,相反角的终边关于
轴对称,由三角函数的定义,有
=
=
=
=
- 小结
是偶函数,而
都是奇函数
任意角的负角正化
- 由相反角的结论,任意负角可以转换为正角计算和表示
- 例如
=
;
=
,
=
原点对称角
- 角
或
,
;不妨把这类角称为
- 在
内的
的终边关于原点对称的终边表示为
- 再根据同终边的角的生成公式,得原点对称角表示式
- 关于原点对称的两条终边上的点坐标符号都取反
=
=
=
任意角锐角化
- 令奇数集合为
,偶数集合为
=
=
=
,
- 经过上面的分析和讨论可知,任意角都可以化为
,
的形式
- 然后根据
的三角函数关系进一步转换为
内的锐角三角函数进行表示和计算
小结
- 上述前3组公式:(三种终边关系对应3组公式)
- 同终边角
- 相反角
- 原点对称角
- 统称为诱导公式,可借助任意角的终边来推理和记忆公式
- 利用诱导公式,可以用于求三角函数式的值或化简三角函数式
其他公式
两个互为补角的三角函数
- 已知
,
互为补角,则
=
;
=
- 其中
相当于
轴对称后,再关于原点对称
=
=
=
- 类似的,
=
=
- 总之,两个互为补角的正弦值相等,余弦值互为相反数
与
相关的角表达式的三角函数
- 公式(后两个可以将前两个中的
得到,
可由各自与前两个公式的比值关系直接得到)
=
;
=
=
;
=
=
=
=
- 讨论
的三角函数关系,我们借助
- 终边和单位圆的交点坐标(横,纵坐标分别反映角
- 以及直角坐标系上的直线
辅助(过渡)
和
关于
对称
- 例如
,
;又如
,
关于
对称
- 例如
;又如
- 关于坐标轴对称的点的坐标关系
关于
轴对称
关于
轴对称
- 事实上,
- 设
- 以
- 第1次轴对称变换关于直线
,得到的新坐标为记为
,由对称可知
,终边
的对应的角:
- 第2次轴对称变换关于
,得到的新坐标为
,由
;角
的终边就是
,
- 所以
- 运用类似的手法,可以完全归纳
=
- 可以由上一组的公式直接推出,例如
=
=
=
=
=
总结
- 通过对三角函数的诱导公式的研究,归纳,人们总结出了一套口诀,以便快速完成如下形式的换算
,
到
- 其中
表示
中的一种函数名,
口诀
- 这里介绍最常用的一句口诀,主要用于
- “奇变偶不变,符号看象限”
- 奇变偶不变:
- 若
是偶数,则
的函数名一样,例如都是
或者都是
,即函数名不变
- 若
)
- 符号看象限:
- 符号指的是正负号
- 将
视为锐角,然后判断
终边所处的象限
- 该终边(对应的角)在三角函数U下的符号作为
的符号,简单说就是公式两边同号
- 例
=
=
=
=
=
=
- 其他三角函数都可以转换为
进行计算,因此不是很有必要记
- 若需要可其他口诀参考其他资料