AM@映射@函数@反函数@复合函数

标签：函数映射定义域 AM 复合反函数定义

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AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学

abstract

从两个角度定义函数及相关概念

直接定义
引入映射这一概念,然后借助映射来定义函数

讨论函数的最基本内容
讨论复合映射和复合函数
讨论逆映射和反函数及其性质
相关的符号表示含义解释

直接定义

函数的定义

设两个变量 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_02$ , $AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_03$ 是一个非空的实数集
若存在一个对应规则 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_04$ ,使得对于每个 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_05$ ,按照这个规则,有唯一确定的实数值 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_06$ 与之对应,则称 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_04$ 是定义在 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_03$ 上的一个函数
$AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_09$ 称为自变量, $AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_03$ 称为函数 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_04$ 的定义域,
$AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_06$ 称为因变量,函数 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_04$ 在 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_03$ 对应的 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_15$ 的函数值全体构成的集合常记为 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_16$ , $AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_17$ ,称为函数 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_15$ 的值域

反函数定义

设 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_19$ 的定义域是 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_20$ ,值域为 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_21$
函数 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_19$ 的反函数定义为:若对于任意 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_23$ ,由 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_19$ 可以确定唯一的 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_25$ ,记为 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_26$ 或 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_27$
我们还可以借助逆映射的概念定义反函数,另见相关章节

复合函数定义

设函数 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_28$ , $AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_29$ , $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_30$
若 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_31$ ,则称函数 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_32$ 为复合函数,它的定义域为 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_33$ ,其中 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_34$ 称为中间变量, $AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_09$ 称为自变量

基于映射定义

基于映射的概念,可以更加简洁地定义函数等相关概念
映射是一种比函数更加基础和抽象的概念,函数是映射中的一种实现

映射

设 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_36$ 是两个非空集合,如果存在一个对应法则(简称法则) $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_04$ ,使得对 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_03$ 中每个元素 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_09$ ,按照法则 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_04$ ,在 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_16$ 中有唯一确定的元素 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_06$ 与之对应,那么 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_04$ 是从 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_44$ 的映射,记为 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_45$

$AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_46$ 是法则的记号
$AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_47$ 分别是被映射非空集合与映射结果非空集合

像@原像

在映射的定义中, $AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_06$ 称为元素 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_09$ (在映射 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_04$ 下)的像,记为 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_51$ ,即 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_52$
而元素 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_09$ 称为 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_06$ (在映射 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_04$ 下)的一个原像

定义域@值域

集合 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_03$ 称为映射 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_04$ 的定义域,记为 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_58$ ,即 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_59$
$AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_03$ 中所有元素的像组成的集合称为映射 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_04$ 的值域,记为 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_62$ 或 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_63$ ,即 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_64$

小结

一个映射需要具备3个要素:

集合 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_65$ (定义域 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_66$ )
集合 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_67$ (值域范围, $AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_68$ )
对应法则 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_46$ ,使每个 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_70$ ,有唯一确定的 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_71$ 与之对应

每个 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_05$ 的像 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_06$ 是唯一的
每个 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_74$ 的原像不一定是唯一的
映射 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_04$ 的值域 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_76$ 是 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_16$ 的一个子集 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_78$ ,而不一定有 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_79$

例

设 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_80$ $AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_81$ $AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_82$ ,对于每个 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_83$ ,对应法则: $AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_84$ , $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_04$ 是一个映射,其定义域 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_86$ ,值域 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_87$

满射

设 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_04$ 是从集合 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_89$ 的映射,若 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_79$ ,即 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_16$ 中任一元素 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_06$ 都是 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_03$ 中某元素的像,则 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_04$ 为 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_89$ 的满射
满射是特殊的映射,意味着 $AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_16$ 中没有多余的元素, $AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_97$

AM@映射@函数@反函数@复合函数

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直接定义

函数的定义

反函数定义

复合函数定义

基于映射定义

映射

像@原像

定义域@值域

小结

例

满射

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