概述
主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种常用的数据降维和特征提取技术，用于将高维数据转换为低维的特征空间。其目标是通过线性变换将原始特征转化为一组新的互相无关的变量，这些新变量称为主成分，它们按照方差递减的顺序排列，以保留尽可能多的原始数据信息。
主成分分析的基本思想可以总结如下：
- 寻找新的特征空间：PCA通过线性变换，寻找一组新的特征空间，使得新的特征具有以下性质：
- 主成分具有最大的方差，尽可能保留原始数据的信息。
- 不同主成分之间彼此无关，即它们是正交的（互相垂直）。
- 降低数据维度：保留方差较大的主成分，舍弃方差较小的主成分，从而实现数据降维。
主成分分析的步骤如下：
- 中心化数据：将原始数据进行中心化，使得数据的均值为零。
- 计算协方差矩阵：计算特征之间的协方差矩阵，描述了特征之间的线性关系。
- 计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
- 选择主成分：按照特征值的大小选择保留的主成分数量，通常选择方差较大的前几个主成分。
- 得到新的特征空间：将原始特征投影到选定的主成分上，得到新的特征空间。
主成分分析的应用包括降维、去除数据噪声、数据可视化、特征选择等。通过保留最重要的特征，可以在减少数据维度的同时保持对数据的关键信息进行捕获。
在实际使用中，有时会将各个变量进行标准化，此时的协方差矩阵就相当于原始数据的相关系数矩阵。所以Alink的主成分分析组件提供了两种计算选择，参数CalculationType可以设置为相关系数矩阵（CORR）或者协方差矩阵（COV），默认为相关系数矩阵，即对标准化后的数据计算其主成分。
Alink库中的实现与应用
示例
以美国50个州的7种犯罪率为例，做主成分分析。这7种犯罪分别是："murder", "rape", "robbery", "assault", "burglary", "larceny", "auto"。从这7个变量出发来评价各州的治安和犯罪情况是很难的，而使用主成分分析可以把这些变量概括为2-3个综合变量（即主成分），便于更简便的分析这些数据。
/**
* 主成分分析
* 1.基于默认的计算方式(CORR)，计算主成分
* 2.设置K为4，将原先的7个维度降低到4个维度
* 3.输出向量列，使用VectorToColumnsBatchOp组组件将向量列转为4个数据列，名称分别为"prin1, prin2, prin3, prin4"
* */
static void c_1() throws Exception {
MemSourceBatchOp source = new MemSourceBatchOp(CRIME_ROWS_DATA, CRIME_COL_NAMES);
source.lazyPrint(10, "Origin data");
BatchOperator <?> pca_result = new PCA()
.setK(4)
.setSelectedCols("murder", "rape", "robbery", "assault", "burglary", "larceny", "auto")
.setPredictionCol(VECTOR_COL_NAME)
.enableLazyPrintModelInfo()
.fit(source)
.transform(source)
.link(
new VectorToColumnsBatchOp()
.setVectorCol(VECTOR_COL_NAME)
.setSchemaStr("prin1 double, prin2 double, prin3 double, prin4 double")
.setReservedCols("state")
)
.lazyPrint(10, "state with principle components");
pca_result
.select("state, prin1")
.orderBy("prin1", 100, false)
.lazyPrint(-1, "Order by prin1");
pca_result
.select("state, prin2")
.orderBy("prin2", 100, false)
.lazyPrint(-1, "Order by prin2");
BatchOperator.execute();
}
当然还可以先将数据标准化后再做主成分分析。如下
/**
* 主成分分析
* 1. 先将数据标准化
* 2. 设置计算方式为协方差计算，设置K为4，将原先的7个维度降低到4个维度
* 3.输出向量列，使用VectorToColumnsBatchOp组组件将向量列转为4个数据列，名称分别为"prin1, prin2, prin3, prin4"
* */
static void c_2() throws Exception {
MemSourceBatchOp source = new MemSourceBatchOp(CRIME_ROWS_DATA, CRIME_COL_NAMES);
Pipeline std_pca = new Pipeline()
.add(
new StandardScaler()
.setSelectedCols("murder", "rape", "robbery", "assault", "burglary", "larceny", "auto")
)
.add(
new PCA()
.setCalculationType(CalculationType.COV)
.setK(4)
.setSelectedCols("murder", "rape", "robbery", "assault", "burglary", "larceny", "auto")
.setPredictionCol(VECTOR_COL_NAME)
.enableLazyPrintModelInfo()
);
std_pca
.fit(source)
.transform(source)
.link(
new VectorToColumnsBatchOp()
.setVectorCol(VECTOR_COL_NAME)
.setSchemaStr("prin1 double, prin2 double, prin3 double, prin4 double")
.setReservedCols("state")
)
.lazyPrint(10, "state with principle components");
BatchOperator.execute();
}
应用
在聚类方面的应用
主要通过降维来减少特征的维度，从而在聚类过程中降低数据的复杂度和计算成本，同时提高聚类的效果。主要实现过程如下：
- 使用 PCA 对数据进行降维，得到新的特征空间。设置降维后的维度，通常选择较小的维度以减少特征数。
- 在降维后的特征空间上应用聚类算法，比如 K-means、DBSCAN 等。
- 使用适当的聚类评估指标，如轮廓系数等，来评估聚类的效果。
示例代码如下：
/**
* 聚类+主成分分析
* 1. 将数据降维，只使用5%的维度数据
* 2. K-Means聚类：分别将原始数据与主成分分析后的数据做聚类操作
* */
static void c_3() throws Exception {
AkSourceBatchOp source = new AkSourceBatchOp().setFilePath(DATA_DIR + SPARSE_TRAIN_FILE);
source
.link(
new PcaTrainBatchOp()
.setK(39)
.setCalculationType(CalculationType.COV)
.setVectorCol(VECTOR_COL_NAME)
.lazyPrintModelInfo()
)
.link(
new AkSinkBatchOp()
.setFilePath(DATA_DIR + PCA_MODEL_FILE)
.setOverwriteSink(true)
);
BatchOperator.execute();
BatchOperator <?> pca_result = new PcaPredictBatchOp()
.setVectorCol(VECTOR_COL_NAME)
.setPredictionCol(VECTOR_COL_NAME)
.linkFrom(
new AkSourceBatchOp().setFilePath(DATA_DIR + PCA_MODEL_FILE),
source
);
Stopwatch sw = new Stopwatch();
KMeans kmeans = new KMeans()
.setK(10)
.setVectorCol(VECTOR_COL_NAME)
.setPredictionCol(PREDICTION_COL_NAME);
sw.reset();
sw.start();
kmeans
.fit(source)
.transform(source)
.link(
new EvalClusterBatchOp()
.setVectorCol(VECTOR_COL_NAME)
.setPredictionCol(PREDICTION_COL_NAME)
.setLabelCol(LABEL_COL_NAME)
.lazyPrintMetrics("KMeans")
);
BatchOperator.execute();
sw.stop();
System.out.println(sw.getElapsedTimeSpan());
sw.reset();
sw.start();
kmeans
.fit(pca_result)
.transform(pca_result)
.link(
new EvalClusterBatchOp()
.setVectorCol(VECTOR_COL_NAME)
.setPredictionCol(PREDICTION_COL_NAME)
.setLabelCol(LABEL_COL_NAME)
.lazyPrintMetrics("KMeans + PCA")
);
BatchOperator.execute();
sw.stop();
System.out.println(sw.getElapsedTimeSpan());
}