常见的泰勒展开
目录【1】 ☆☆☆ e的x次方
\[e^x=1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!}+ {x^4 \over 4!} + o(x^4) \]【2】☆☆☆ sin x
\[\sin x=x-{x^3 \over 3!}+{x^5 \over 5!}-{x^7 \over 7!} + o(x^7) \]或者【更精确】
\[\sin x=x-{x^3 \over 3!}+{x^5 \over 5!}-{x^7 \over 7!} + o(x^8) \]【3】☆☆☆ 1-x 分之 1
\[{1\over 1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+ o(x^4) \]【4】 cos x
将 【2】 左右两边同时求导得：
\[\cos x = 1-{x^2 \over 2!}+{x^4 \over 4!}-{x^6 \over 6!} + o(x^6) \]或者【更精确】
\[\cos x = 1-{x^2 \over 2!}+{x^4 \over 4!}-{x^6 \over 6!} + o(x^7) \]【5】 1+x 分之 1
将 【3】 内的x 替换为 -x 得
\[{1\over 1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4+ ... \]【6】ln(1+x)
由于 $ (\ln(1+x))' = {1\over 1+x}$
将 【5】 求积分得
\[ \ln(1+x) = x - {x^2\over 2} + {x^3\over 3} - {x^4\over 4} + ... \]【7】1+x方 分之 1
将【5】内的 \(x\) 替换为 \(x^2\) 得:
\[ {1 \over 1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+x^8+... \]【8】arctan x
由于 \((\arctan x)' = {1 \over 1+x^2}\)
将【7】 求积分得
\[\arctan x =x-{x^3 \over 3}+{x^5 \over 5}-{x^7 \over 7} + {x^9 \over 9} +... \]【9】(单独) (1+x)的α次方
\[(1+x)^\alpha = 1+\alpha x + {\alpha(\alpha-1)\over 2!} \cdot x^2 + {\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\over 3!} \cdot x^3 +... \]【10】(单独) arcsin x
\[\arcsin x = x + {x^3 \over 6}+o(x^3) \]【11】(单独) tan x
\[\tan x = x + {x^3 \over 3}+o(x^3) \]来自 bilibili网 考研竞赛凯哥 （Av332067776）仅供学习参考。
标签：泰勒,cos,ln,over,常见,arctan,alpha,sin,展开 From： https://www.cnblogs.com/serverror/p/16755258.html