01容斥定理

容斥定理（简单情况）对任意两个有限集合 A 和 B ，有

=+-

其中，分别表示 A ，B 的元素个数．

推广结论：对于任意三个有限集合 A , B , C ，有

= ++---+

有限集合的计数方法1：

利用容斥定理的上述两个公式计算有限集合的元素个数．

有限集合的计数方法2：

文氏图法，即首先根据已知条件把对应的文氏图画出来，然后将已知集合的元素填入表示该集合的区域内．一般从几个集合的交集填起，根据计算结果将数字逐步填入所有的空白区域内．如果交集的数字是未知的，可以将其设为 x ，再根据已知条件列出方程或方程组，解出未知数 x ．

02实例讲解

例1：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？

解：依题意，被计数的集合有语文和数学期末考试得满分两个集合，“数学得满分”记为集合 A ，“语文得满分”记为集合 B ，“语文和数学”都是满分的既是 A 的元素又是 B 的元素，而至少有一门得满分的同学人数是集合 A 或 B 的元素个数的总和．由容斥定理：

= +－=15+12－4=23

即这个班至少有一门得满分的同学有23人．

试一试：某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电脑的有34人，二者都有的有27人，这个班有学生多少人？

例2：某所大学计算机专业的80名学生在期末考试中，Pascal语言课有58人达到优秀，数据结构课有30人达到优秀，离散数学课有25人达到优秀．并且，Pascal语言和数据结构两门课都达到的有20人，Pascal语言和离散数学两门课都达到的有19人，数据结构和离散数学两门课都达到的有17人．还有10人一门优秀都没得到．如果获得3门优秀者可得奖学金200元，获得2门优秀者可得奖学金100元，那么计算机系应为本专业学生发奖学金多少元？

解：设期末考试中Pascal语言课、数据结构课、离散数学课达到优秀的学生集合分别为 A , B , C ，那么

= 58，= 30，= 25，

= 20，= 19，= 17

而1门课都没达到优秀的学生= 10，即至少有1门课达到优秀的学生= 80-= 70．

那么，由定理1.2.2的推广结论，得3门课都达到优秀的学生数为：

=－ (++－－－)=70－58－30－25 +20 +19 +17= 13

所以，计算机系应为本专业学生发奖学金：

13×200 +（20－13）×100 +（19－13）×100 +（17－13）×100 = 4300（元）