01集合的概念
1集合与元素
具有确定的，可以区分的若干事物的全体称为集合，其中的事物叫元素．集合的元素不能重复出现，集合中的元素无顺序之分.
集合与其元素之间存在属于“”或不属于“
”关系.
集合 A 中元素的个数为集合的元数，记作| A |．
理解集合概念时请注意：
（1）集合中的元素是确定的．也就是说，对集合 A ，任一元素 a 或者属于 A 或者不属于 A ，两者必居其一．若元素 a 属于集合 A ，则用 a A 表示，若不属于 A ，则用 a
A 表示．
（2）集合中的每个元素是可以互相区分开的．也就是说，在一个集合中不会重复出现相同的元素．例如集合{ a , b , b , c , d , d , d }与{ a , b , c , d }是一样的．
（3）组成一个集合的每个元素在该集合中是无次序的，可以任意列出．例如{1,2,3}，{2,3,1}，{3,1,2}是同一集合的三种列举法．
（4）合的元素可以是任何事物，甚至某一集合可以作为另一集合的元素．例如集合 A = {1, 2,{ a , b }}，其中{ a , b }是一个集合，但它又是 A 的元素．
（5）对于集合元素的个数不作任何限制，它可以是有限个也可以是无限个．一个集合若由有限个元素组成，称为有限集合；若由无限个元素组成，称为无限集合．
2集合的表示方法
列举法是列出集合的所有元素，并用花括号括起来．
图1
例如 A = { a , b , c , d}，N = {0, 1, 2, 3, …}．
描述法是将集合中元素的共同属性描述出来．
例如 B = {}，D = {
是正整数}．
文氏图法是用一个简单的平面区域表示一个集合，用区域内的点表示集合内的元素．如图1．用文氏图可以形象地、直观地表述集合与集合之间的关系和集合之间的运算．
02集合之间的关系
1包含（子集）
若对任一，都有
，则称 B包含 A（或 A包含于 B），称 A是 B的子集，记
；又若 A≠ B，则称 A是 B的真子集，记 A⊂ B．如图2．
2集合相等
若 A⊆ B，B⊆ A，则 A= B.
学习时要正确理解元素与集合、集合与子集、子集与幂集、与⊂(⊆)、空集与所有集合等的关系．
图2
集合与集合之间是一种包含关系或不包含关系，当两个集合 A和 B存在关系 A包含 B或 B被 A包含，也就是说 A⊇ B或 B⊆ A，则称 B为 A的子集；当 B⊆ A且 B≠ A，也就是说，只有 B⊂ A或 A⊃ B成立，则称 B为 A的真子集．若 B不是 A的子集，即 B⊆ A不成立时，则称 A不包含 B，记作 BA．然而，元素与集合之间是一种从属关系或不从属关系，当
是集合
中的元素，则称
属于
，记作
；若不是集合中的元素，则称不属于，记作．因此，这两种关系一定不要混淆．
03特殊集合
1全集合 E
在一个具体问题中，所涉及的集合都是某个集合的子集，该集合为全集．
2空集
不含任何元素的集合为空集，空集是惟一的，它是任何集合的子集．
3集合 A 的幂集 P( A )
集合 A 的所有子集构成的集合称为 A 的幂集，记作
P( A )=.
若集合 A 是由 n 个元素所组成的有限集合，即 | A | ＝ n ，则幂集是由2n 元素组成，即
|P( A )|=2n.
04实例讲解
例1：已知 S ＝{2, a , {3}, 4}，R ={{ a }, 3, 4, 1}，判断下列各题是否正确：
（1）{ a } S ; （2） { a }
R ; （3） { a, 4, {3}}
S ; （4） {{ a }, 1, 3, 4}
R ;
（5） R = S ; （6） { a }S ; （7） { a }
R ; （8）
R ;
（9） {{ a }}
R ; （10） {
}
S ; （11）
R ; （12）
{{3}, 4}.
解：集合 S 有四个元素：2，a ，{3}，4，而元素{3}又是集合；集合 R 类似．
（1） 错．因为{ a }是单元素的集合，{ a }不是集合 S 的元素，所以“{ a } S ”是错的．
（2） 对．因为{ a }是 R 的元素，所以“{ a } R ”是正确的．
（3） 对．因为 a , 4, {3}都是 S 的元素，以此为元素构成的集合是 S 的子集．所以“{ a,4,{3}} S ”是正确的．
（4） 对．因为{ a }, 1, 3, 4都是 R 的元素，以此为元素构成的集合是 R 的子集，所以“{{ a },1,3,4} R ”是正确的．
（5） 错．因为元素2 S ，但2
R ，所以 S
R ．
（6） 对．因为 a 是集合 S 的元素,所以{ a}是 S 的子集．
（7） 错．因为{ a }是集合 R 的元素，元素与集合之间不能用“”，正确的表示为：{ a }
R ．
（8） 对．因为空集是任意集合的子集．
（9） 对．因为是集合{{ a }}的子集，{{ a }}是集合 R 的子集，所以
{{ a }}
R 是正确的．
（10） 错．因为不是集合 S 的元素，所以由空集
构成的集合不是 S 的子集，即{
}
S 是错的．
（11） 错．因为不是集合 R 的元素，所以
R 是错的．
（12） 对．因为空集是任意集合的子集．
例2：单项选择题
（1） 设 a 是集合 A 的元素，则以下正确的是（ ）
（A） （B）
（C）
（D）
（2） 设集合 A ＝{{1,2,3},{4,5},{6,7,8}}，则下列各式为真的是（ ）
（A）1 A （B） {{4,5}}
A （C） {1,2,3}
A （D）
A
（3） 设集合 A ＝{，a }，则 P（ A ）＝ （ ）
（A） （B）
（C）
（D）
解答：
（1）C，因为，a 是集合 A 的元素，则 { a } 是 A 的子集，根据元素与集合的属于关系，集合与子集的包含关系，可知选项A、B、D是错的．
（2）C，因为1和空集不是集合 A 的元素， {{4, 5}}是 A 的子集但不是 A 的元素，所以选项A、B、D是错的．
（3）D，因为幂集 P ( A ) 的元素个数是4，而选项A、B的集合只有三个元素，它们是错的．又选项C中第四个元素{{ a }}不是 A，也不是 A 的子集，所以选项C是错的．
因为幂集 P ( A )的元素个数是4，而选项A、B的集合只有三个元素，它们是错的．又选项C中第四个元素{{ a }}不是 A ，也不是 A 的子集，所以选项C是错的．
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