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原文出处：拓端数据部落公众号

我们使用广义线性模型（Generalized Linear Models，简称GLM）来研究客户的非正态数据，并探索非线性关系。GLM是一种灵活的统计模型，适用于各种数据类型和分布，包括二项分布、泊松分布和负二项分布等非正态分布。通过GLM，我们可以对非正态数据进行建模和预测，并且能够处理计数数据，如客户购买数量、网站点击次数等。GLM还允许引入自变量的非线性效应，从而更好地拟合与响应变量之间的复杂关系。这使得GLM成为处理非正态数据和非线性关系的强大工具。

泊松回归和伽马回归 - 探索联系

如果我们查看火车与机动车碰撞数据，我们会发现一个有趣的模式。

   

library(readr)
......

train <- read_csv("s_agresti.csv")

train_plot <- ggplot(train,
   ......

仅仅通过观察，我们就可以看出方差随预测变量而变化。此外，我们处理的是计数数据，它具有自己的分布，即泊松分布。然而，如果我们坚持使用lm进行分析会怎样呢？

   

train_lm <-......odel(train_lm)

预测值和观测值之间不匹配。部分原因是这里的响应变量在残差中不是正态分布的，而是泊松分布，因为它是计数数据。

泊松回归

具有泊松误差的广义线性模型通常具有对数链接，尽管也可以具有恒等链接。例如，

   

pois_tib <- tibble(x = rep(0:40,2),
            ......
  geom_col(position = position_dodge())

上面显示了两个泊松分布，一个均值为5，另一个均值为20。请注意它们的方差如何变化。

对数链接（例如ŷ=ea+bx̂=eβ+αx）是一个自然的拟合方法，因为它不能得到小于0的值。因此，在这种情况下，我们可以这样做：

   

train_glm <- glm(collisions ~ km_trtravel, 
           ......

然后，我们可以重新评估模型的假设，包括过分离。请注意，下面的QQ图并没有什么实际意义，因为这不是正态分布。

   

check_model(train_glm)

那么...残差怎么办呢？鉴于残差不是正态分布的，使用qqnorm图几乎没有意义。拟合残差关系仍然可能看起来很奇怪。

使用广义线性模型的分位数残差

评估广义线性模型（以及许多其他模型形式）的一种方法是查看其分位数残差。 因此，首先让我们使用DHARMa生成一些模拟残差。

   

res <- simulateResiduals(train_glm)

我们可以绘制这些图表，并进行非参数拟合检验。

   

plotQQunif(res)

很好，拟合效果不错。忽略异常值测试，因为在更详细的观察中我们发现没有异常值。

我们还可以查看预测与量化残差图。

   

plotResiduals(res)

   

check_overdispersion(train_glm) |> plot()

   

## `geom_smooth()` using method = 'loess' and formula 'y ~ x'
## `geom_smooth()` using method = 'loess' and formula 'y ~ x'

查看glm结果

让我们来看看模型结果。

   

summary(train_glm)

注意，在这里我们看到了标准的glm输出，我们可以像处理任何对数变换一样解释系数。我们还有一个离散参数，描述了均值和方差之间的关系。对于泊松分布，它的值为1。

最后，我们可以绘图。

   

train_plot +
......"log")))

Gamma回归

然而，我们的数据通常不是离散的。考虑来自Zuur的蛤蜊数据。

   

clams <- read_delim("ams.txt", delim = "\t") %>%
  mutate(MONTH = factor(MONTH))

AFD（无灰干质量）与月份和长度有什么关系？显然这里存在非线性关系。

   

clam_plot <- ggplot(clams,
      ......

clam_plot

现在，看起来我们应该用对数变换的模型进行拟合，但是…

   

clam_lm <- lm(log(......

显然存在明显的问题。即使对AFD取对数后的qq图也不好，残差拟合图也不好。Gamma glm采用其逆函数作为其规范连接，但它们通常也可以使用对数连接。

   

clam_gamma <- glm(AFD ~ ......
                  data = clams)

   

check_model(clam_gamma)

还有

   

clam_res <- simulateR......res)

   

ploals(clam_res)

好的，也许不是很好。但这主要是由于高值的稀疏性导致的，所以没关系。

我们可以使用predict进行绘图，在这里分别绘制每个月的图。

   

clam_plot +......
  facet_wrap(~MONTH)

我们还可以查看其他属性。

   

summary(clam_gamma)

我们可以重新参数化伽马分布，使得均值=形状/速率。在这种情况下，我们使用该均值和形状参数化伽马分布。离散参数是1/形状。

但是，为了更容易理解，伽马的方差随均值的平方成比例地扩展。离散参数越大，方差扩展得越快。

最后，我们可以使用纳吉尔克计的伪R2来计算R2。

   

# fit
r2(clam_gamma)

这是正态的吗？

你可能会问为什么这里使用伽马分布而不是正态分布？我们可以用正态误差和对数链接进行glm拟合。

   

clam_glm_norm <- glm(AFD ......
                     data = clams)

一种判断的方法是寻找过离散。

   

norm_res <- simulateRe......orm_res)

   

plotuals(norm_res)

我们可以看到QQ图很好。而且predobs也不糟糕（特别是与上面相比）。这是一些很好的证据，表明这里可能只需要正态误差和对数链接。

逻辑回归

让我们来看看我们的小鼠感染隐孢子虫的例子。请注意，数据被限制在0和1之间。

   

mouse <- read_csv...... Porportion)) +
  geom_point()

mouse_plot

这是因为虽然N是每个样本的总小鼠数量，但是我们不能有超过N的感染！实际上，每只老鼠就像一次抛硬币。它是否被感染了。

二项分布

二项分布有两个参数，成功的概率和硬币投掷的次数。得到的分布始终介于0和1之间。考虑使用不同概率进行15次硬币投掷的情况。

  R

bin_tibble <- tibble(outcome = rep(0:15, 2),......
  geom_col(position = position_dodge())

我们也可以将x轴的范围调整为0到1，来表示比例。

或者，考虑相同的概率，但是不同次数的硬币投掷。

  R

bin_tibble <- tibble(outcome = rep(0:15, 2),......
  geom_col(position = position_dodge())

你可以看到两个参数都会影响分布的形状。

二项式逻辑回归

在二项逻辑回归中，我们主要是估计获得正面的概率。然后我们以权重的形式提供（而不是估计）试验次数。这里使用的典型链接函数是logit函数，因为它描述了一个在0和1之间饱和的逻辑函数。

在R中，我们可以使用两种形式来参数化二项逻辑回归 - 这两种形式是等价的，因为它们将结果扩展为成功次数和总试验次数。

  R

mouse_glm_cbind <- glm(cbind(Y,......
                 data = mouse)

第二种方式使用权重来表示试验次数。

  R

mouse_glm <- glm(Porport......
                 data = mouse)

这两个模型是相同的。

从这一点开始，工作流程与以往一样 - 假设检验、分析和可视化。

  R

checl(mouse_glm)

  R

binduals(mouse_glm, ......

  R

res_bin <- sim......

  R

plotRes_bin)

  R

summary(moglm)

  R

r2(mouse_glm)

注意，离散参数为1，就像泊松分布一样。

  R

ggplot(mouse,
     ......
              method.args = list(family = binomial))

Beta回归

最后，我们经常会遇到受限数据，但这些数据不是从二项式分布中抽取的 - 也就是说，并不存在独立的“硬币翻转”，如果你愿意的话。

考虑以下关于服用不同补充剂时锻炼后钠摄入比例的分析，2300是推荐摄入量，所以我们将其标准化为这个值。

  R

sodium <- read_csv("laake.csv")

  R

ggplot(sodium,
 ......
  geom_boxplot()

现在，让我们使用Beta回归来观察这个结果。

  R

sodium_beta <- beta......
                       data = sodium)

  R

soditmb <- glmmTMB(Porport......
                       data = sodium)
chec......a_tmb)

  R

plotQQunif(sodium_beta_tmb)  

然后我们可以继续进行所有我们通常的测试和可视化。例如 -

  R

emmeans(sodium_b......
  confint(adjust = "none")

如果我们有一个连续的协变量，我们可以获得拟合值和误差，并将它们放入模型中。

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