AcWing 5. 多重背包问题 II

题目

有 $N$ 种物品和一个容量是 $V$ 的背包。

第 $i$ 种物品最多有 $s_i$ 件，每件体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。 输出最大价值。

输入格式 第一行两个整数，$N，V$，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 $N$ 行，每行三个整数 $v_i,w_i,s_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 种物品的体积、价值和数量。

输出格式 输出一个整数，表示最大价值。

数据范围 $0<N≤1000$ $0<V≤2000$ $0<v_i,w_i,s_i≤2000$ 提示： 本题考查多重背包的二进制优化方法。

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

思路

多重背包与完全背包不同，无法使用类似的优化方法。 多重背包优化可以使用二进制优化方法，对于物品 $i$ 最多取 $s$ 个，我们可以将 $s$ 个物品 $i$划分成多个堆，一个堆有着多个物品的体积和价值，与正常物品无差别，这样问题转换成了01背包问题。

代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 12010, M = 2010;

int v[N], w[N];
int f[M];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    // 二进制优化
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        int a, b, s;
        cin >> a >> b >> s;
        int k = 1;
        while (k <= s)
        {
            cnt ++ ;
            v[cnt] = a * k;
            w[cnt] = b * k;
            s -= k;
            k *= 2;
        }
        
        if (s > 0)
        {
            cnt ++ ;
            v[cnt] = a * s;
            w[cnt] = b * s;
        }
    }
    
    
    n = cnt;  // n重新赋值为统计的cnt
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = m; j >= v[i]; j -- )
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
            
    cout << f[m] << endl;
    
    return 0;
}