LA@方阵相似@相似矩阵的性质

标签：特征值 LA 多项式矩阵相似矩阵相似对角方阵

文章目录

相似矩阵

引言

相似矩阵定义
相似变换
相似变换矩阵
相似矩阵的矩阵多项式和特征值相同
推论:与对角阵相似的矩阵性质定理

相似矩阵性质

相似矩阵的乘方性质
相似矩阵和矩阵多项式

相似对角阵

对角阵多项式的展开
小结

相似矩阵

引言

对角阵是矩阵中最简单的一类矩阵

对角阵相关的乘法运算是很高效的
相似方阵是和对角阵相关的概念

相似矩阵定义

设 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值$ 是 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_02$ 阶方阵,如果存在 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_02$ 阶可逆方阵 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_04$ ,使得 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_05$ ,则称方阵 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_06$ 相似,记为 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_07$

相似变换

对 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_08$ 进行运算 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_09$ 称为对 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_08$ 进行相似变换

相似变换矩阵

矩阵 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_04$ 称为相似变换 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_09$ 的相似变换矩阵

相似矩阵的矩阵多项式和特征值相同

若 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_13$ 阶矩阵 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_14$ 相似,则 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_14$ 的特征多项式相同,从而 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_14$ 的特征值相同
证明:

由 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_17$ ,有 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_18$ 满足 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_19$
所以 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_20$ = $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_21$ = $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_22$
由于 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_23$ = $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_24$ = $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_25$ = $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_26$ ,因此,可以将 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_27$ 变形为 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_28$ 或 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_29$
$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_30$ = $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_31$ = $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_32$ = $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_33$ = $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_34$
显然 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_35$

但是,特征值相同的方阵未必相似

推论:与对角阵相似的矩阵性质定理

与对角阵相似的矩阵的特征值就是对角阵对角元素
若 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_13$ 阶矩阵 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_37$ ,则 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_38$ 是 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_39$ 的 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_13$ 个特征值
证明:对角阵的特征值是对角元素,由本节定理可知, $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_41$ 的特征值与 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_42$ 相同,所以推论成立

相似矩阵性质

$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_43$
$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_44$

$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_45$

$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_46$

$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_47$
$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_48$
$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_49$
$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_50$
因此 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_51$

单位矩阵只和自身相似

设方阵 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_52$ 和单位阵 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_53$ 相似
$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_54$
$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_55$
因此和单位阵 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_53$ 相似的矩阵是 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_53$ 本身

$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_58$

$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_59$

$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_60$

$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_61$ 具有相同的特征值
$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_62$
$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_63$
$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_64$

$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_65$

$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_66$

$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_67$ 都是可逆矩阵,它们都可以表示为一系列的初等矩阵的乘积
因此, $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_68$ 相当于有 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_69$ 经过初等变换得到的等价矩阵,它们的秩相等(初等变换不改变秩)

$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_70$

$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_71$
$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_72$
$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_73$

$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_74$
$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_75$
可见 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_76$

$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_77$

$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_78$

$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_79$
$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_80$

$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_81$

若 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_82$ 存在,则 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_83$ 存在, $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_84$

$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_85$ 可逆:

方法1:
$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_86$
$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_87$ 存在, $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_88$ ,则 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_89$
方法2:
由于\bold{A}可逆,则 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_90$ 表明, $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_69$ 是可逆矩阵的乘积,所以\bold{B}也可逆

$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_92$ ,因此 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_93$

设 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_94$

$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_95$
$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_96$
$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_97$
$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_98$

相似矩阵的乘方性质

设 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_99$ 相似 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_100$ <0>

$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_101$ = $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_102$ <1>

推导: $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_103$ = $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_104$

= $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_105$
= $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_106$

相似矩阵和矩阵多项式

设矩阵多项式 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_107$ <2>,将<1>代入<2>有: $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_108$ = $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_109$ = $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_110$ = $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_111$ ,根据矩阵乘法的分配律, $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_108$ = $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_113$ = $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_114$

相似对角阵

当 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_41$ 相似于某个对角阵 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_116$ ,则:

$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_103$ = $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_118$
$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_多项式_119$ = $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_120$

由此可见,若矩阵 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_41$ 能够表示成 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_122$ (相似对角化问题),矩阵 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_41$ 的多项式问题就能够被转换为对角阵的多项式

对角阵多项式的展开

$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_124$ = $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_125$ ,
推导:

对角阵乘方运算性质:若 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_126$ 为对角阵,则 $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_127$ = $LA@方阵相似@相似矩阵的性质_特征值_128$
$LA@方阵相似@相似矩阵的性质_线性代数_129$
这个展开式告诉我们,对角阵(矩阵)的多项式可以归结为数(标量)的多项式的计算