PBN三板斧之旁切转弯

公众号的订阅人数突破三千了，前面的PBN文章也拿到了近三千的阅读量，说明大家对PBN的话题还是很关注的。随着关注人数的增多，不敢过分消耗大家的注意力，是时候拿出点“看家本领”给大家比划两下子了。

之前发过三篇关于PBN的论文，刚好涉及三个PBN转弯保护区的基础问题。“三”这个数字让我想起评书中的“三板斧”。通过三套固定动作，就可以精确解决PBN转弯保护区的绘制问题，勤加练习一定可以帮助大家对PBN的理解更上层楼。（有点广告的味道了）

为了尽量把细节问题表达清楚，我们套用武学概念，将一组动作拆分成多个“招式”，并冠以名称帮助理解，名称若有雷同，纯属巧合。

招式一：灯火阑珊（风螺旋的切线）

风螺旋的切线在什么位置呢？

现有规范中已经指出来，如下图所示，按照圆弧画法来模拟风螺旋时，与b、c、d点相对应的最远点（风螺旋上的点）在下图中的b2、c2、d2等位置。

b、c、d点所对应的风螺旋的切线，实际上就是从b2、c2、d2点引出，分别垂直于线段bb2、cc2、dd2的直线。这个结论的证明过程，我写了有十多页纸，感兴趣的朋友可以搜“风螺旋线的深度分析”、“等距螺旋的原理与计算”这两篇文章详细了解一下。

从前面的结论出发，我们会发现切线的方向与θ角度是可以精确换算的。以顺时针角度增大来表示，切线的方向（角度）就等于θ-DA+90°。DA就是偏流角，它的数值等于arcsin(w/V)对应的角度值。

假如偏流角DA是15°，飞机转弯135°(θ等于135°)时，对应的风螺旋的切线方向就是 135-15+90= 210°，相当于图中d2位置画出的切线的角度。

通过θ角与DA角可以精确计算出风螺旋切线的方向，反过来看，知道切线方向与DA角的大小，就可以换算出θ角，然后套用风螺旋的计算公式，就可以在多个θ角之间准确画出风螺旋的形状来。众里寻它千百度，蓦然回首却在灯火阑珊处，这个招式就叫灯火阑珊了。

招式二：心心相印（风螺旋的外扩计算）

风螺旋与渐开线螺旋有着一个共同的特征，那就是等距离外扩的切线之间是相互平行的关系。换个角度来看，针对保护区副区平行外扩的情况，可以用同一个θ角加上外扩距离，来描述主区边界、副区边界的风螺旋。主副区的风螺旋具有相同的圆心，只是外扩的距离不同罢了。

招式三：青萍之末（旁切转弯外边界的起点a与b）

按照现有规范，转弯外边界的起点a是主区边界线上的转弯最晚位置点，最早点用来画内边界的KK'线。从a点开始画风螺旋，并按照保护区半宽绘制风螺旋的外扩螺旋，外扩螺旋与保护区外边界的交点是图中的a"。a点对应的风螺旋的θ角度为零度（相当于风螺旋的初始方向），与a点直接对应的风螺旋上的点是a',a'是位于保护区副区范围内的一个点。

b点是平行与前一航段的直线与风螺旋的切点，从风螺旋的角度来看，b点是切线为90°方向的风螺旋上的点。它对应的θ角度为90-（-DA+90）=DA，也就是说当飞机转弯角度为DA时，对应的风螺旋上的位置点为b点，从b点继续外扩可以得到b"。

战国《风赋》“夫风生于地，起于青萍之末，止于草莽之间”，从起点开始，风螺旋的数学特征已经显现，看似毫厘之差，实则是注定的结果。

招式四：斗转星移（转弯区的d点）

如果将旁切转弯中航迹改变的角度用A来表示，根据下图可以看到d点对应的切线方向为90°+A，换算成θ角度就是（90+A）-（-DA+90）=A+DA，也就是说，当航迹改变的角度A确定以后，转弯区的d点是一个可以精确计算的位置点。

招式五：异曲同工（风螺旋的公切线点e与f）

如果旁切转弯的角度足够大(转弯大于60°)，可以从转弯内侧的最晚点引出一条风螺旋，两条风螺旋求取公切线得到e点与f点。

两条起点相同（在同一水平线上）的风螺旋，它们的公切线对应的θ角度就是90+DA。从风螺旋的角度来看，公切线方向相当于水平向右的180度方向，按照公式180-（-DA+90）可知θ角度就是90+DA。

当转弯角度A等于90度时，d点与e点将融合成一个点，它们的θ角表达式都是90+DA。当转弯大于90时，按照规范线段dc的角度（入航航迹的垂线）将不再变化，避免了d与e点位置上的变形，从这一点来看，规范还是很严谨的。

招式六：草莽之间（旁切转弯的结束点g与h）

旁切转弯结束部分有一段30°切入出航航迹的过程。转弯过程中航迹改变的角度用A来表示时，30°切入线的方向就是90+A+30。借用前面90°转弯的图例，30°切入线的角度关系如下图所示。

已知切线方向，求θ角，套公式（90+A+30)-(-DA+90）=A+DA+30，结果还是简单明了的。

需要注意的是，在不同的转弯角度，或是不同的保护区半宽条件下，g点、h点与它的外扩点可能并不会出现。转弯后续航段的副区外边界线有可能直接与风螺旋相交（上图中的例子），或者是与线段ef相交，都是有可能的，因此，30°内收线并不总是能够显现得出来。

汇总以上的计算步骤，是下面的表格内容，θ角的计算方法在PBN旁切转弯保护区中具有通用性。

以上内容参见2019年飞院学报《基于性能导航的旁切转弯保护区算法分析》，欢迎转发及引用。

风螺旋精确算法带来的最大好处，是可以精确描述飞行程序转弯保护区的各个位置点，以全新方式去定义飞行程序保护区，并且对保护区的绘制精度的给出可量化的标准。