首页 > 其他分享 >dp-最优二叉搜索树

dp-最优二叉搜索树

时间:2023-08-13 16:45:36浏览次数:44  
标签:... weights2 int 0.06 0.05 最优 二叉 节点 dp

最优二叉搜索树

目录

问题描述

最优二叉搜索树(Optimal Binary Search Tree,Optimal BST)问题,形式化定义:给定一个n个不同关键字的已排序的序列K=<k1, k2, ..., kn>(k1<k2<...<kn),用这些关键字构造一棵二叉搜索树 —— 对每个关键字ki,都有一个概率pi表示其搜索频率。对于不在K中的搜索值构造n+1个”伪关键字“d0, d1, d2, ..., dn —— 伪关键字di表示所有在ki和ki+1之间的值(i=1,2,...,n-1,d0表示所有小于k1的值,dn表示所有大于kn的值),每个伪关键字di对应一个概率qi(搜索频率)。

例如,对一个n=5的关键字集合及如下的搜索频率,构造二叉搜索树。

i 0 1 2 3 4 5
pi 0 0.15 0.1 0.05 0.1 0.2
qi 0.05 0.1 0.05 0.05 0.05 0.1

如下为两种可能的结构,左侧的期望代价为2.8,右侧为最优2.75

另外,上述例子有两种最优,期望代价均为2.75,另一种是:(并且它的深度更小)

                k4
        k2               k5
    k1         k3     d4    d5
d0    d1    d2   d3

问题分析

分析这个问题,要从观察子树特征开始。一个二叉搜索树的任意子树,必须包含连续关键字 ki...kj 和伪关键字 di-1...dj.
而每个子树都有且只有一个根节点,根节点k将子树分为两部分: <i...k-1> 和 <k+1...j>,分别为左右子树。
所以问题转化为了递归地求解连续节点的根节点问题,假设函数f为期望代价:

f(i...j) = min(
    f(i-1)+f(i+1...n)+c[i...j],         // i为根节点
    f(i)+f(i+2...n)+c[i...j],           // i+1为根节点
    f(i..i+1)+f(i+3...n)+c[i...j],      // i+2为根节点
    ...
    f(i..k-1)+f(k+1...n)+c[i...j],      // k为根节点
    ...
    f(i...j-1)+f(j+1)+c[i...j]          // j为根节点
)

对某种已知结构的二叉树,每个节点的搜索代价为其搜索概率乘以深度+1(根节点深度为0,所以加1),然后将树中所有节点代价相加,得到树的期望搜索代价。
当将两个子树放在其同一个根节点上组成一个新的树时,所有节点深度都增加1,所以上述递推关系中,每种情况都增加了一个额外的代价c[i...j],即ki到kj所有节点的搜索概率之和:
c[i...j] = sum(ki...kj) + sum(di-1...dj)

思路

e[i,j] 为<i...j>构成的子树最小期望代价
w[i,j] 为<i...j>构成的子树所有节点概率相加,相当于上面的c[i...j]
root[i,j] 为<i...j>构成的子树最小期望对应的根节点id

为了处理边界问题,e和w长度都增加1,即第一维长度为n+1

OPTIMAL-BST(p, q, n)
    let e[1 : n + 1, 0 : n], w[1 : n + 1, 0 : n], and root[1 : n, 1 : n] be new tables
    for i = 1 to n + 1
        e[i, i - 1] = q_{i-1}
        w[i, i - 1] = q_{i-1}
    for l = 1 to n
        for i = 1 to n - l + 1
            j = i + l - 1
            e[i, j] = ∞
            w[i, j] = w[i, j - 1] + p_j + q_j
            for r = i to j
                t = e[i, r - 1] + e[r + 1, j] + w[i, j]
                if t < e[i, j]
                    e[i, j] = t
                    root[i, j] = r
    return e and root

程序

// optimal binary search tree
// 最优二叉搜索树
#include <iostream>
#include <float.h>
#include <vector>
#include <climits>
#include <time.h>

#define N 7

using namespace std;

void solve();
template<typename T>
void print_mat(T** mat, int len1, int len2);

int main(int argc, char** argv) {
    solve();


    return 0;
}

void solve() {
    //int keys[N+1]{0,1,2,3,4,5};
    // 下标0的元素为0,是为了和weights2对齐,无意义
    //double weights1[N+1]{0,0.15,0.1,0.05,0.1,0.2};
    //double weights2[N+1]{0.05,0.1,0.05,0.05,0.05,0.1};

    int keys[N+1]{0,1,2,3,4,5,6,7};
    double weights1[N+1]{0,0.04,0.06,0.08,0.02,0.1,0.12,0.14};
    double weights2[N+1]{0.06,0.06,0.06,0.06,0.05,0.05,0.05,0.05};

    // 存放权重(期望),只有右上和对角下一行有值
    //   对角下一行wei[i][i-1]表示weights2[i-1]
    double** wei = new double*[N+1];
    // wei1[i][j] : sum(weights1[i...j]) + sum(weights2[i-1,...,j])
    double** wei1 = new double*[N+1];
    // 右上角和对角存放根节点id,左下代表深度
    int** rid = new int*[N+1];
    for (int i = 0; i < N+1; ++i) {
        wei[i] = new double[N+1]{0};
        wei1[i] = new double[N+1]{0};
        rid[i] = new int[N+1]{0};
        if (i > 0) {
            wei[i][i-1] = weights2[i-1];
            wei[i][i] = weights1[i] + 2*(weights2[i-1] + weights2[i]);
            rid[i][i] = i;
            wei1[i][i-1] = weights2[i-1];
            wei1[i][i] = weights1[i] + weights2[i-1] + weights2[i];
        }
        // 相邻两个节点组成的树深度为2(包括伪关键字,根节点深度为0)
        //   剩余位置用一个比较大的值占位
        for (int j = 0; j < i; ++j) {
            rid[i][j] = i==j+1 ? 2 : N*2;
        }
    }

    for (int diff = 1; diff < N; ++diff) {
        for (int i = 1; i < N+1-diff; ++i) {
            int j = i + diff;
            wei1[i][j] = wei1[i][j-1] + weights1[j] + weights2[j];
            wei[i][j] = DBL_MAX;
            for (int k = i; k <= j; ++k) {      // 旧方案
            // 习题15.5-4, rid[i][j-1] <= rid[i][j] <= rid[i+1][j]
            //   上一层循环的时间复杂度变为 O(n),总时间复杂度变为 O(n^2)
            //   这样虽然时间复杂度降低了,但深度的计算变得不准确;旧方案的深度是准确的
            // for (int k = rid[i][j-1]; k <= rid[i+1][j]; ++k) {
                double w = wei1[i][j] + wei[i][k-1] + (k<N ? wei[k+1][j] : weights2[j]);
                int deep = rid[j][i];
                if (j == i+1) {
                    deep = 2;
                } else {
                    if (k <= i+1) {
                        deep = rid[k+1][i] + 1;
                    } else if (j <= k+1) {
                        deep = rid[j][k-1] + 1;
                    } else {
                        deep = max(rid[k-1][i], rid[j][k+1]) + 1;
                    }
                }
                if (w <= wei[i][j]) {
                    wei[i][j] = w;
                    rid[i][j] = k;
                    if (deep < rid[j][i]) {
                        rid[j][i] = deep;
                        rid[i][j] = k;
                    }
                }
                cout << i << "," << j << "," << k << "\tw: " << w << "\td: " << deep << endl;
            }
        }
    }
    cout << "wei:\n";
    print_mat(wei, N+1, N+1);
    cout << "wei1:\n";
    print_mat(wei1, N+1, N+1);
    cout << "rid:\n";
    print_mat(rid, N+1, N+1);

    // print structure
    cout << "structure:\n";
    vector<pair<int, int>> stru{{1, N}};
    pair<int, int> p;
    int id, count = 1;
    while (!stru.empty()) {
        p = stru[0];
        id = rid[p.first][p.second];
        cout << keys[id];
        if (p.first < id) {
            stru.push_back({p.first, id-1});
        } else {
            cout << "(L)";      // 左子树为空
        }
        if (id < p.second) {
            stru.push_back({id+1, p.second});
        } else {
            cout << "(R)";      // 右子树为空
        }
        stru.erase(stru.begin());
        cout << "\t";
        if (--count == 0) {
            cout << endl;
            count = stru.size();
        }
    }

    for (int i = 0; i < N+1; ++i) {
        delete[] wei[i];
        delete[] wei1[i];
        delete[] rid[i];
    }
    delete[] wei;
    delete[] wei1;
    delete[] rid;
}

template<typename T>
void print_mat(T** mat, int len1, int len2) {
    for (int i = 0; i < len1; ++i) {
        for (int j = 0; j < len2; ++j) {
            cout << mat[i][j] << "\t";
        }
        cout << endl;
    }
}

测试:

$ g++ -o bst bst.cpp && ./bst
1,2,1	w: 0.64	d: 2
1,2,2	w: 0.62	d: 2
2,3,2	w: 0.7	d: 2
2,3,3	w: 0.68	d: 2
3,4,3	w: 0.57	d: 2
3,4,4	w: 0.64	d: 2
4,5,4	w: 0.64	d: 2
4,5,5	w: 0.57	d: 2
5,6,5	w: 0.74	d: 2
5,6,6	w: 0.72	d: 2
6,7,6	w: 0.8	d: 2
6,7,7	w: 0.78	d: 2
1,3,1	w: 1.16	d: 3
1,3,2	w: 1.02	d: 4
1,3,3	w: 1.1	d: 3
2,4,2	w: 1.02	d: 3
2,4,3	w: 0.93	d: 4
2,4,4	w: 1.12	d: 3
3,5,3	w: 1.05	d: 3
3,5,4	w: 1.04	d: 4
3,5,5	w: 1.04	d: 3
4,6,4	w: 1.23	d: 3
4,6,5	w: 1.01	d: 4
4,6,6	w: 1.07	d: 3
5,7,5	w: 1.39	d: 3
5,7,6	w: 1.2	d: 4
5,7,7	w: 1.33	d: 3
1,4,1	w: 1.48	d: 3
1,4,2	w: 1.34	d: 4
1,4,3	w: 1.35	d: 4
1,4,4	w: 1.56	d: 3
2,5,2	w: 1.64	d: 3
2,5,3	w: 1.41	d: 4
2,5,4	w: 1.52	d: 4
2,5,5	w: 1.52	d: 3
3,6,3	w: 1.66	d: 3
3,6,4	w: 1.63	d: 4
3,6,5	w: 1.48	d: 4
3,6,6	w: 1.68	d: 3
4,7,4	w: 1.9	d: 3
4,7,5	w: 1.66	d: 4
4,7,6	w: 1.55	d: 4
4,7,7	w: 1.7	d: 3
1,5,1	w: 2.11	d: 3
1,5,2	w: 1.96	d: 4
1,5,3	w: 1.83	d: 3
1,5,4	w: 1.96	d: 4
1,5,5	w: 2.03	d: 3
2,6,2	w: 2.25	d: 3
2,6,3	w: 2.02	d: 4
2,6,4	w: 2.11	d: 3
2,6,5	w: 1.96	d: 4
2,6,6	w: 2.17	d: 3
3,7,3	w: 2.39	d: 3
3,7,4	w: 2.3	d: 4
3,7,5	w: 2.13	d: 3
3,7,6	w: 2.16	d: 4
3,7,7	w: 2.31	d: 3
1,6,1	w: 2.83	d: 3
1,6,2	w: 2.57	d: 4
1,6,3	w: 2.44	d: 4
1,6,4	w: 2.55	d: 4
1,6,5	w: 2.47	d: 4
1,6,6	w: 2.69	d: 3
2,7,2	w: 3.09	d: 3
2,7,3	w: 2.75	d: 4
2,7,4	w: 2.78	d: 4
2,7,5	w: 2.61	d: 4
2,7,6	w: 2.65	d: 4
2,7,7	w: 2.91	d: 3
1,7,1	w: 3.67	d: 3
1,7,2	w: 3.41	d: 4
1,7,3	w: 3.17	d: 4
1,7,4	w: 3.22	d: 4
1,7,5	w: 3.12	d: 4
1,7,6	w: 3.17	d: 4
1,7,7	w: 3.49	d: 3
wei:
0	0	0	0	0	0	0	0
0.06	0.28	0.62	1.02	1.34	1.83	2.44	3.12
0	0.06	0.3	0.68	0.93	1.41	1.96	2.61
0	0	0.06	0.32	0.57	1.04	1.48	2.13
0	0	0	0.06	0.24	0.57	1.01	1.55
0	0	0	0	0.05	0.3	0.72	1.2
0	0	0	0	0	0.05	0.32	0.78
0	0	0	0	0	0	0.05	0.34
wei1:
0	0	0	0	0	0	0	0
0.06	0.16	0.28	0.42	0.49	0.64	0.81	1
0	0.06	0.18	0.32	0.39	0.54	0.71	0.9
0	0	0.06	0.2	0.27	0.42	0.59	0.78
0	0	0	0.06	0.13	0.28	0.45	0.64
0	0	0	0	0.05	0.2	0.37	0.56
0	0	0	0	0	0.05	0.22	0.41
0	0	0	0	0	0	0.05	0.24
rid:
0	0	0	0	0	0	0	0
2	1	2	2	2	3	3	5
14	2	2	3	3	3	5	5
14	3	2	3	3	5	5	5
14	3	3	2	4	5	5	6
14	3	3	3	2	5	6	6
14	3	3	3	3	2	6	7
14	3	3	3	3	3	2	7
structure:
5
2	7(R)
1(L)(R)	3(L)	6(L)(R)
4(L)(R)
time cost: 0.32 ms

新方案的时间是 0.255 ms,但深度计算错误

标签:...,weights2,int,0.06,0.05,最优,二叉,节点,dp
From: https://www.cnblogs.com/minding/p/17626757.html

相关文章

  • 无涯教程-Perl - readpipe函数
    描述该函数将EXPR作为命令执行。然后,将输出作为标量文本中的多行字符串返回,或者将行作为列表context中的单个元素返回。语法以下是此函数的简单语法-readpipeEXPR返回值此函数在标量context中返回String,在列表context中返回List。例以下是显示其基本用法的示例代码......
  • 剑指 Offer 54. 二叉搜索树的第k大节点(简单)
    题目:classSolution{public:voidtraversal(TreeNode*cur,vector<int>&result){//本题利用二叉搜索树的排序性质if(cur==nullptr)return;traversal(cur->right,result);//唯一要注意的是题目要求第k大的,所以要把大的放在前面。遍历顺序......
  • 斜率优化DP
    前置芝士单调队列优化DP⌈写不动数据结构呜呜呜,先来补这个⌋对于一个DP,我们想优化祂的⌈转移⌋有些题目的可选状态有以下特征需要寻找最值可选状态区间平移存在可以永久去除的多余状态感性的讲,可行性是一个滑动窗口,状态两两之间都可以⌈直接比较出优劣......
  • UDP
    UDP不像TCP创建连接时有3次握手,而是直接发送数据,不管对方是否接收到。UDP网络通信不区分客户端和服务端。 UDP收发数据的步骤1.创建UDP套接字对象2.直接发送数据3.读取数据4.关闭套接字 示例服务端1'''2UDP应该说没有服务端和客户端,只是习惯称发......
  • [代码随想录]Day16-二叉树part05
    题目:513.找树左下角的值思路:层序遍历是最好的选择了,先放右节点,再放左节点最后一个元素就是最左侧的节点。说白了层序遍历就是广度优先搜索BFS。代码:funcfindBottomLeftValue(root*TreeNode)int{node:=rootq:=[]*TreeNode{root}forlen(q)>0{......
  • [MDP.Net] 平台架構
    MDP.Net將應用系統切割為:模組、隔離、平台三個分層,透過架構設計提供模組重用、參數調整、環境建置...等等面向的快速開發能力。-模組:企業的商業知識、共用的功能邏輯,在MDP.Net裡會被開發成為一個一個的「模組」,方便開發人員依照商業需求,快速組合出應用系統。-隔離:MDP.Net加......
  • [MDP.Net] 模組架構
    MDP.Net遵循三層式架構,將模組開發切割為:系統展示、領域邏輯、資料存取三個分層,減少模組對於元件、平台、框架的直接依賴,提高模組自身的內聚力。-系統展示(Presentation):與目標客戶互動、與遠端系統通訊...等等的功能邏輯,會被歸類在系統展示。例如,使用MessageBox通知使用者處理......
  • DP1
    DP1P2523[HAOI2011]Problemc从后往前考虑,容易判掉无解。启发我们计数也从后往前考虑,设\(f[i][j]\)表示考虑到\([i,n]\)的位置,确定了\(j\)个人的编号的方案数。转移枚举之前确定了多少个人、在当前位置确定多少个人即可。CF311BCatsTransport求出正好接到每只小......
  • p5两链表相交问题和二叉树
    (本文大多从杀戒之声处来,就想着自己方便看)两链表相交问题所谓相交,是指两链表有某一内存地址相同,则为相交,判断有环无环,哈希表(set),第一次相同(单向链表)快慢指针,快走2,慢走1,快慢指针第一次相遇后,将快指针返回头节点,慢指针不动,快改为走1,看快慢节点是否能相遇,有环则一定会在入环节......
  • [代码随想录]Day15-二叉树part04
    题目:110.平衡二叉树思路:就是后序,如果左右差的超过了1,那么就直接返回-1,如果最后收到了-1那一定是false。代码:/***Definitionforabinarytreenode.*typeTreeNodestruct{*Valint*Left*TreeNode*Right*TreeNode*}*/funcisBalanced(......