为什么直流分量导致归一化频谱变小？

标签：频谱 变小 DFT Normalized 归一化 直流 分量

直接举一个例子。

假设有一个包含N个样本的信号，表示\(x[n]\)，其中\(n = 0, 1, 2, ..., N - 1\)。

信号的DFT表示\(X[k]\)，其中\(k = 0, 1, 2, ..., N - 1\)，对应信号在不同频率上的分量，DFT的计算公式如下：

\[X[k] = \sum\nolimits_{n=0}^N x[n] \cdot e^{-j(2\pi/N) \cdot k \cdot n} \]

其中对于索引\(k\)，\(k=0\)对应着频率为0的直流分量，\(k=1\)对应着第一个正频率分量。。。所以说，如果计算\(X[0]\)的值不为0，说明信号中含有直流分量。

DFT得到的频谱是复数，幅值谱就是为：

\[|X[k]| = \sqrt{Re(X[k])^2 + Im(X[k])^2} \]

为了将频谱归一化到0到1之间，可以使用如下公式：

\[Normalized |X[k]| = \cfrac{|X[k]|}{\max(|X[0]|, |X[1]|, ..., |X[N-1]|)} \]

例如现在信号为x为[1,2,3,2]，N = 4。

1. 计算DFT

\[X[0] = 1 + 2 + 3 + 2 = 8 \\ X[1] = -2 \\ X[2] = -2 \\ X[3] = 2 \\ \]

2. 计算幅值谱

\[|X[0]| = 8 \\ |X[1]| = 2 \\ |X[2]| = 2 \\ |X[3]| = 2 \\ \]

3. 归一化频谱

\[Normalized|X[0]| = \cfrac{8}{\max(8,2,2,2,2)} = 1 \\ Normalized|X[1]| = 2/8 = 0.25 \\ Normalized|X[2]| = 0.25 \\ Normalized|X[3]| = 0.25 \\ \]

可见，信号的直流分量在分母中做了最大的贡献（数值为8），分母大，使得归一化频谱变小。

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