前言
如果不小心发表出去了那么大概率是我手滑点错了，没有更新完那就是我也在学，有问题请@我。
另外有同学告诉我概率期望其实是动态规划？
基础知识：
互斥事件：事件 \(A\) 和 \(B\) 的交集为空， \(A\) 与 \(B\) 就是互斥事件，也叫互不相容事件。 也可叙述为：不可能同时发生的事件。 如 \(A∩B\) 为不可能事件（ \(A\bigcap B=\varnothing\) ），那么称事件 \(A\) 与事件 \(B\) 互斥，其含义是：事件 \(A\) 与事件 \(B\) 在任何一次试验中不会同时发生。
对立事件：对立事件是指其中必有一个发生的两个互斥事件 。
独立事件：所谓独立事件就是某事件发生的概率与其它任何事件都无关，用集合的概念解释即集合之内所有事件发生的可能性范围互不相交。
目录概率
条件概率公式
定义：
条件概率：
在另外一个事件 \(B\) 已经发生的情况下，事件 \(A\) 发生的概率叫做 \(A\) 对 \(B\) 的条件概率。记作 \(p(A|B)\) ，易证\(p(AB)=p(A|B)p(B)\) ，若 \(p(A|B)==p(A)\) 则称事件 \(A\) 与事件 \(B\) 相互独立。
公式：
\[ \begin{aligned} p(A|B)=\frac{p(AB)}{p(B)} \end{aligned} \]乘法公式：
由条件概率公式可得：
\[ \begin{aligned} p(AB)=p(A|B)p(B)=p(B|A)p(A) \end{aligned} \]乘法公式的推广：
对于任何一个正整数 \(n>=2\) ，当 \(p(A_1A_2……A_{n-1})>0\) 时，有：
\[ \begin{aligned} p(A_1A_2……A_{n-1})=p(A_1)p(A_2|A_1)p(A_3|A_1A_2)……p(A_n|A_1A_2……A_{n-1}) \end{aligned} \]全概率公式
定义：
完备事件组：
若事件 \(A_1,A_2,……,A_n\) 满足：
-
\(A_i \bigcap A_j==\varnothing\)，\(i\neq j\)
-
\(A_1 \bigcup A_2 \bigcup A_3 \bigcup …… \bigcup A_n==\Omega\)
则称这些事件是完备事件组。
(也称事件组 \(A_1,A_2……A_n\) 是样本空间 \(\Omega\) 的一个划分)
公式：
设 \(B_1,B_2,……,B_n\)是样本空间 \(\Omega\) 的一个划分， \(A\) 是任一事件，则：
\[ \begin{aligned} P(A) =\sum_{ i = 1 }^{ n } P(B_i)P(A|B_i) \end{aligned} \]证明见图：
整个矩形为样本空间，蓝色椭圆是事件 \(A\).
显然 \(P(B_i)P(A|B_i)\) 等于 \(B_i\) 区域的那一块蓝色。
全概率公式将较难计算的事件 \(A\) 分割为多个小事件后相加。
例题：
某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为 \(0.05\) ，\(0.04\)，\(0.02\)，它们各自的产品分别占总量的\(0.25\)，\(0.35\)，\(0.40\)，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。
解：
\(P(A)=0.25*0.05+0.04*0.35+0.02*0.40=0.0345\)
贝叶斯公式
定义
与全概率公式解决的问题恰好相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因。
返回上图：
贝叶斯公式要求的是大事件 \(A\) 已经发生的情况下，分割中小事件 \(B_i\) 的概率。
公式
设 \(B_1,B_2,……,B_n\)是样本空间 \(\Omega\) 的一个划分， \(A\) 是任一事件，则：
\[ \begin{aligned} P(B_i|A) = \frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_{ j = 1 }^{ n }P(B_j)P(A|B_j)} \end{aligned} \]还是这张图：
我们先看分子： \(P(B_i)P(A|B_i)\) 毫无疑问是在 \(B_i\) 范围内事件 \(A\) 的概率。
而分母 \(\sum_{ j = 1 }^{ n }P(B_j)P(A|B_j)\) 则是事件 \(A\) 发生的概率。
例题：
仍然是上面的机床awa：
某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为 \(0.05\) ，\(0.04\)，\(0.02\)，它们各自的产品分别占总量的\(0.25\)，\(0.35\)，\(0.40\)，将它们的产品混在一起，取出的零件是次品，求它是第 \(i\) 台加工的概率。
0.0345
解：
甲：\(\frac{0.25*0.05}{0.05*0.25+0.04*0.35+0.02*0.40}\) 约等于 \(0.362\)
乙和丙大家自己算吧算完了发评论区（骗个评论）检查你是否真正掌握。