打 qoj 板子赛打的。
有的是会的，只是之前没写过。
就题论题，所以写的不一定是正解。
回文自动机
题意
对于 \(S\)，记 \(c_S(T)\) 表示 \(T\) 在 \(S\) 中的出现次数。对所有回文串 \(T\)，求 \(\max_T(c_S(T) \cdot |T|^2)\)。
对于所有数据，\(|S| \leq 10^6\)。
题解
经典结论：本质不同回文子串只有 \(O(n)\) 个。
Manachar 的同时动态维护一下字典树，使用树上倍增快速找 \(k\) 级祖先，就好了。
最后树上差分，枚举每个串，计算贡献即可。
区间本质不同子串
题意
给定字符串 \(S\)，\(q\) 次询问，每次给出 \(l,r(1 \leq l \leq r \leq |S|)\)，你需要求出 \(S[l:r]\) 本质不同的子串数量。
对于所有数据，\(1 \leq |S| \leq 2 \times 10^5, 1 \leq q \leq 2 \times 10^5\)。
题解
建出后缀树，对 \(l\) 从大往小扫描线。
动态维护一下每条边最新归属于哪个后缀，容易发现就是对一个点到根的路径染色，使用 LCT 的均摊即可维护。
拿一个 BIT 计算一下贡献，总复杂度 \(O(n\log^2n+q\log n)\)。
正则二分图匹配
题意
给定一个正则二分图 \(G=(X,Y,E)\)，其中 \(|X|=|Y|=n\) 且每个点的度数均为 \(d\)，请你求出一个其完美匹配。
对于 \(100\%\) 的数据，保证 \(n\times d\le 2\times 10^6\)。
题解
我们打乱所有左部点，然后逐个枚举左部点作为起点，每次步步随机走出一条增广路，消掉增广路的环之后直接增广这条增广路。
可以证明复杂度期望是 \(O(n\log n)\) 级别的。
边三联通分量
题意
给出 \(N\) 个点 \(M\) 条边的无向图，第 \(i\) 边是 \((a_i,b_i)\)。求出其所有边三连通分量。
\(1 \leq N \leq 2\times 10^5\)，\(1 \leq M \leq 2 \times 10^5\)，\(0 \leq a_i, b_i < N\)。
题解
首先拉出一颗 Tarjan 生成树出来。我们给每条非树边一个 \(2^{64}\) 范围内的随机哈希值，然后在树链上异或上这个哈希值。这样每条非树边的哈希值对应了一个集合。
我们取出所有对应非树边集合大小 \(\ge2\) 的边（哈希值不为 \(0\) 且不与任意一个非树边的哈希值相等），可以使用排序或者哈希表给出每种集合的边集。
容易发现同一个非树边边集这些对应的所有树边一定均在原生成树上一条根到叶子的链上，我们取出这样的最深和最浅的边，把最深的边的儿子节点和最浅的边的父亲节点使用一条新边连通。最后每个由新边组成的联通块即为一个边三连通分量。
正确性证明：两个点同属一个边三等价于这两个点之间割的大小 \(\ge3\)，所以我们直接找出所有割的大小 \(\le2\) 的对即可。割边本身即为割的大小 \(=1\)，如果一个树边对应非树边集合大小 \(=1\) 则直接割掉这个树边和非树边即构成一个 \(=2\) 的割。剩下的割 \(=2\) 的情况即为割掉两条对应非树边集合相同的树边，容易验证我们上面这么干是对的。
有源汇有上下界最小费用最大流（随机数据）
题意
给定一张 \(n\) 个点 \(m\) 条边的有向图，其中源点为 \(s\) 点，终点为 \(t\) 点。每条边有起点 \(a_i\)，终点 \(b_i\)，流量下界 \(l_i\)，流量上界 \(u_i\)，费用 \(c_i\)。
现在，你需要找到一个从 \(s\) 到 \(t\) 的流，满足每个点的流量平衡与每条边的流量上下界，且在流量最大的情况下费用尽可能小。
对于所有数据，保证 \(1 \le n \le 1\,000\)，\(1 \le m \le 5\,000\)，\(1 \le s,t \le n\)，\(s \ne t\)。
对于所有数据，保证 \(1 \le a_i, b_i \le n\)，\(a_i \ne b_i\)，\(1 \le l_i \le u_i \le 10^6\)，\(-10^6 \le c_i \le 10^6\)。
特别地，保证本题的数据通过以下方式随机生成：
- 选定 \(n\)，\(m\)，\(s\)，\(t\) 的值，不保证 \(n,m,s,t\) 随机生成。
- 通过以下方式生成一张 \(m\) 条边的有向图 \(G\)：
- 选定参数 \(k_1, k_2\)，满足 \(0 \le k_1, k_2\) 且 \(k_1 + k_2 \le n\)。
- 进行 \(k_1\) 次：
- 均匀随机选择 \(1 \le a \le n\) 且 \(a \ne s\)，添加边 \(s \to a\)。
- 进行 \(k_2\) 次：
- 均匀随机选择 \(1 \le a \le n\) 且 \(a \ne t\)，添加边 \(a \to t\)。
- 进行 \(m-k_1-k_2\) 次：
- 均匀随机地选择 \(1 \le a, b \le n\) 且 \(a \ne b\)，添加边 \(a \to b\)。
- 对于每条边，均匀随机地选择其费用 \(c_i \in [-10^6, 10^6]\)。
- 对于每条边，选择一个 \(\Delta_i \in [1, 10^6]\)，不保证 \(\Delta_i\) 随机生成。
- 随机进行以下过程若干次：
- 选择一个值 \(\delta \in [1, 10^6]\)，不保证 \(\delta\) 随机生成。
- 从 \(s\) 开始 dfs 整张图，每次均匀随机地选择一个出边。
- 如果最终到达了点 \(t\)，则将 \(s \to t\) 路径上所有边的 \(l_i\) 增加 \(\delta\)。
- 特别地，若存在边的 \(l_i\) 超过了 \(10^6 - \Delta_i - \delta\)，则放弃本轮操作。
- 随机进行以下过程若干次：
- 选择一个值 \(\delta \in [1, 10^6]\)，不保证 \(\delta\) 随机生成。
- 均匀随机地选择一个顶点 \(x\)。
- 从 \(x\) 开始 dfs 整张图，每次均匀随机地选择一个出边。
- 如果最终回到了点 \(x\)，则将走过的路径上所有边的 \(l_i\) 增加 \(\delta\)。
- 特别地，若存在边的 \(l_i\) 超过了 \(10^6 - \Delta_i - \delta\)，则放弃本轮操作。
- 令每条边的 \(u_i = l_i + \Delta_i\)。
题解
上下界网络流！
我们考虑加一条 \(t\rightarrow s\)，\(+\infty\) 容量，\(0\) 费用的边，转换成无源汇上下界循环费用流。
增加超级源汇，钦定正权边初始流 \(l\)，负权边初始流 \(r\)，添加附加边来退流，对超级源汇之间跑最小费用最大流。
如果附加边没有流满则无解。
否则我们再在原始源汇间跑一次流，计算出本轮的流量和费用，将费用和上次的费用相加即为总费用。
类欧几里得算法
题意
给出 \(T\) 组询问，每组用 \(n, a, b, c, k_1, k_2\) 来描述。对于每组询问，请你求出
\[\sum_{x = 0} ^ {n} x ^ {k_1} {\left \lfloor \frac{ax + b}{c} \right \rfloor} ^ {k_2} \]对 \(1000000007\) 取模。
对于 \(100 \%\) 的数据，\(T = 1000, 1 \le n, a, b, c \le {10} ^ 9, 0 \le k_1 + k_2 \le 10\)。
题解
首先我们拆成组合数的形式。
\[\sum_{i=1}^ni^x{\left\lfloor\frac{ai+b}{c}\right\rfloor}^y=\sum_{t_1,t_2}(-1)^{x+y-t_1-t_2}{x\brace t_1}{y\brace t_2}\sum_{i=1}^ni^{\overline{t_1}}{\left\lfloor\frac{ai+b}{c}\right\rfloor}^{\overline{t_2}} \\=\sum_{t_1,t_2}t_1!t_2!(-1)^{x+y-t_1-t_2}{x\brace t_1}{y\brace t_2}\sum_{i=1}^n\binom{i+t_1-1}{t_1}\binom{\left\lfloor\frac{ai+b}{c}\right\rfloor+t_2-1}{t_2} \]然后
\[\sum_{i=1}^n\binom{i+x-1}{x}\binom{\left\lfloor\frac{ai+b}{c}\right\rfloor+y-1}{y} \\=\sum_{i=1}^n\binom{i+x-1}{x}\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{ai+b}{c}\right\rfloor}\binom{j+y-2}{y-1} \\=\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{an+b}{c}\right\rfloor}\binom{j+y-2}{y-1}(\sum_{i=1}^n\binom{i+x-1}{x}-\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{jc-b-1}{a}\right\rfloor}\binom{i+x-1}{x}) \\=\binom{\left\lfloor\frac{an+b}{c}\right\rfloor+y-1}{y}\binom{n+x}{x+1}-\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{an+b}{c}\right\rfloor}\binom{j+y-2}{y-1}\binom{\left\lfloor\frac{jc-b-1}{a}\right\rfloor+x}{x+1} \]然后考虑怎么令 \((a,b)\leftarrow(a\bmod c,b\bmod c)\)。
\[\sum_{i=1}^n\binom{i+x-1}{x}\binom{\left\lfloor\frac{ai+b}{c}\right\rfloor+y-1}{y} \\=\sum_{i=1}^n\binom{i+x-1}{x}\binom{\left\lfloor\frac{(a\bmod c)i+(b\bmod c)}{c}\right\rfloor+\left\lfloor\frac ac\right\rfloor i+\left\lfloor\frac bc\right\rfloor+y-1}{y} \\=\sum_{i=1}^n\binom{i+x-1}{x}\sum_t\binom{\left\lfloor\frac{(a\bmod c)i+(b\bmod c)}{c}\right\rfloor+t-1}{t}\binom{\left\lfloor\frac ac\right\rfloor i+\left\lfloor\frac bc\right\rfloor+y-t-1}{y-t} \\=\sum_t\sum_{i=1}^n(\binom{i+x-1}{x}\binom{\left\lfloor\frac ac\right\rfloor i+\left\lfloor\frac bc\right\rfloor+y-t-1}{y-t})\binom{\left\lfloor\frac{(a\bmod c)i+(b\bmod c)}{c}\right\rfloor+t-1}{t} \\=\sum_t\sum_qf_{q,x,y-t,\left\lfloor\frac ac\right\rfloor,\left\lfloor\frac bc\right\rfloor}\sum_{i=1}^n\binom{i+q-1}{q}\binom{\left\lfloor\frac{(a\bmod c)i+(b\bmod c)}{c}\right\rfloor+t-1}{t} \]其中 \(f_{q,x,y,a,b}\) 满足
\[\sum_{0\le q\le x+y}f_{q,x,y,a,b}\binom{i+q-1}{q}=\binom{i+x-1}{x}\binom{ai+b+y-1}{y} \]具体做法是把关于 \(i\) 的多项式展开，然后反复试减。
这样每轮是 \(O(k^4)\) 的，看上去可能有点卡常，需要松一松。不过事实上由于实际计算量能除个 \(4!\) 左右的数，所以并不算太卡常。