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目录一、线性相关性
1. 定义
（1）线性相关：设 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 是 \(n\) 维向量，若 \(\exist\) 不全为 \(0\) 的一组数 \(k_1,k_2,...,k_s\)，使得 \(k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2+...+k_s\alpha_s = 0\)，则称 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性相关。
（2）线性无关：设 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 是 \(n\) 维向量，若要使得 \(k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2+...+k_s\alpha_s = 0\)，当且仅当 \(k_1 = k_2 =... = k_s = 0\)，则称 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性无关。
（3）有零向量的向量组一定线性相关。
【注】如未特别说明，所有向量均视为列向量。
2. 线性相关性的运算
（1）线性相关 + 线性相关 = 线性相关：\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性相关，\(\beta_1,\beta_2,...,\beta_s\) 线性相关 \(\Rightarrow \alpha_1+\beta_1,\alpha_2+\beta_2,...,\alpha_s+\beta_s\) 线性相关
（2）线性相关 + 线性无关 = 线性无关：\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性相关，\(\beta_1,\beta_2,...,\beta_s\) 线性无关 \(\Rightarrow \alpha_1+\beta_1,\alpha_2+\beta_2,...,\alpha_s+\beta_s\) 线性无关
（3）线性无关 + 线性无关 = 线性相关性不确定：\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性无关，\(\beta_1,\beta_2,...,\beta_s\) 线性无关 \(\Rightarrow \alpha_1+\beta_1,\alpha_2+\beta_2,...,\alpha_s+\beta_s\) 的线性相关性不确定
3. 延长和缩短
（1）原来无关，延长无关：\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 是 \(n\) 维线性无关的向量 \(\Rightarrow\) 延长至 \(m(m>n)\) 维后仍线性无关
（2）原来相关，缩短相关：\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 是 \(m\) 维线性无关的向量 \(\Rightarrow\) 缩短至 \(n(n<m)\) 维后仍线性无关
（3）特别地，\(n\) 维向量 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 和 \(m\) 维向量 \(\left( \begin{matrix} \alpha_1 \\ 0 \end{matrix} \right),\left( \begin{matrix} \alpha_2 \\ 0 \end{matrix} \right),...,\left( \begin{matrix} \alpha_s \\ 0 \end{matrix} \right)\) 的线性相关性一致。
【注】从齐次线性方程组的角度来看，是 \(Ax=0\) 中方程个数的增加和减少。
4. 个数和维数
（1）个数 > 维数：\(s>n \Rightarrow\) \(n\) 维向量 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性相关
（2）个数 = 维数：\(s=n, |\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s|=0 \Rightarrow\) \(n\) 维向量 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性相关
（3）个数 < 维数：\(s<n, r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)<s \Rightarrow\) \(n\) 维向量 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性相关
5. 整体和部分
设 \(n\) 维向量 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,...,\alpha_t(s<t)\)，则有：
（1）整体无关，部分无关：\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,...,\alpha_t\) 线性无关 \(\Rightarrow \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性无关
（2）部分相关，整体相关：\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性相关 \(\Rightarrow \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,...,\alpha_t\) 线性相关
【注】从齐次线性方程组的角度来看，是 \(Ax=0\) 中未知数个数的增加和减少。
6. 与线性表示的联系
（1）\(n\) 维向量\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性无关 \(\Rightarrow \forall \alpha_i(1 \leq i \leq s)\) 不可由其他向量线性表示
（2）\(n\) 维向量\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性相关 \(\Rightarrow \exist \alpha_i(1 \leq i \leq s)\) 可由其他向量线性表示
7. 与秩、方程组、行列式的联系
设矩阵 \(A_{n \times s} = (\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)\)，则有：
（1）\(n\) 维向量 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性无关 \(\Leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) = s \Leftrightarrow r(A)=s \Leftrightarrow Ax=0\) 有且仅有零解 \(\Leftrightarrow |A| \neq 0\)（仅当 \(A\) 为方阵）
（2）\(n\) 维向量 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性相关 \(\Leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) < s \Leftrightarrow r(A)<s \Leftrightarrow Ax=0\) 有无穷解（非零解） \(\Leftrightarrow |A| = 0\)（仅当 \(A\) 为方阵）
8. 与矩阵的联系
（1）\(AB=0\)（零向量）
设非零矩阵 \(A_{m \times n} = \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{matrix} \right)\) 可由列向量组表示为 \((\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m)\)。
设非零矩阵 \(B_{n \times s} = \left( \begin{matrix} b_{11} & b_{12} & ... & b_{1s} \\ b_{21} & b_{22} & ... & b_{2s} \\ ... \\ b_{n1} & b_{n2} & ... & b_{ns} \end{matrix} \right)\) 可由行向量组表示为 \(\left( \begin{matrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ ... \\ \beta_s \end{matrix} \right)\)。
（1.1）\(AB=0 \Leftrightarrow (\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m) \left( \begin{matrix} b_{11} & b_{12} & ... & b_{1s} \\ b_{21} & b_{22} & ... & b_{2s} \\ ... \\ b_{n1} & b_{n2} & ... & b_{ns} \end{matrix} \right) = 0 \Leftrightarrow\) 矩阵 \(A\) 的列向量组线性相关 \(\Leftrightarrow Ax=0\) 有非零解
（1.2）\(AB=0 \Leftrightarrow \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ ... \\ \beta_m \end{matrix} \right) = 0 \Leftrightarrow\) 矩阵 \(B\) 的行向量组线性相关 \(\Leftrightarrow xB=0 (B^Tx=0)\) 有非零解
（2）左乘矩阵
设有\(m \times n\)矩阵\(A\)，则有：
（2.1）\(n\) 维向量 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性相关 \(\Rightarrow A\alpha_1,A\alpha_2,...,A\alpha_s\) 线性相关
【证明】\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性相关 \(\Leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) < s\)，且 \(r(AB) \leq r(B)\)，所以有 \(r(A\alpha_1,A\alpha_2,...,A\alpha_s) \leq r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) < s\)，说明 \(A\alpha_1,A\alpha_2,...,A\alpha_s\) 线性相关。
（2.2）\(n\) 维向量 \(A\alpha_1,A\alpha_2,...,A\alpha_s\) 线性无关 \(\Rightarrow \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性无关
【证明】\(A\alpha_1,A\alpha_2,...,A\alpha_s\) 线性无关 \(\Leftrightarrow r(A\alpha_1,A\alpha_2,...,A\alpha_s) = s\)，且 \(r(AB) \leq r(B)\)，所以有 \(s = r(A\alpha_1,A\alpha_2,...,A\alpha_s) \leq r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)\)；又 \(r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) \leq s\)，所以 \(r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) = s\)，说明 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性无关。
二、线性表示
1. 定义
（1）线性表示：设 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 是 \(n\) 维向量，若 \(\exist\) 一组数\(k_1,k_2,...,k_s\)，使得 \(\beta = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2+...+k_s\alpha_s\)，则称 \(\beta\) 可由 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性表示。
（2）极大线性无关组：设 \(n\) 维向量组 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 中有 \(r\) 个向量线性无关，任意 \(r+1\) 个向量（如果有）线性相关，则称 \(r\) 个线性无关的向量为该向量组的一个极大线性无关组，且 \(r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)=r\)。
（3）向量组等价：设 \(n\) 维向量组 \((I)\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 和 \((II)\beta_1,\beta_2,...,\beta_t\)，若向量组 \((I)\) 可由 \((II)\) 线性表示，向量组 \((II)\) 也可由 \((I)\) 线性表示，则称 \((I)\) 和 \((II)\) 等价。
2. 线性表示的运算
设 \(n\) 维向量组 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\)，且 \(\beta,\gamma\) 也是 \(n\) 维向量，则有：
（1）线性 + 线性 = 线性：\(\beta,\gamma\) 可用 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性表示 \(\Rightarrow\) \(\beta±\gamma\) 可用 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性表示
（2）非线性 + 非线性 = 不确定：\(\beta,\gamma\) 都可用 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性表示 \(\Rightarrow\) \(\beta±\gamma\) 不一定能用 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性表示
（3）线性 + 非线性 = 非线性：\(\beta\) 可用 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性表示，\(\gamma\) 不可用 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性表示 \(\Rightarrow\) \(\beta±\gamma\) 不可用 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性表示
3. 整体和部分
设 \(n\) 维向量 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,...,\alpha_t(s<t)\)，则有：
（1）\(\beta\) 可由 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性表示 \(\Rightarrow \beta\) 可由 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,...,\alpha_t\) 线性表示
（2）\(\beta\) 不可由 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,...,\alpha_t\) 线性表示 \(\Rightarrow \beta\) 不可由 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性表示
4. 传递性
（1）线性表示的传递性
（1.1）设 \(n\) 维向量组 \((I)\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 可由 \((II)\beta_1,\beta_2,...,\beta_t\) 线性表示，则：\(\gamma\) 可由 \((I)\) 线性表示 \(\Rightarrow \gamma\) 可由 \((II)\) 线性表示
（1.2）\(\beta\) 可由 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性表示 \(\Leftrightarrow \beta\) 可由 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 的极大无关组线性表示 \(\Leftrightarrow \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 与 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta\) 等价
（1.3）\(\beta\) 可由 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性表示，\(\alpha\) 可由 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{s-1}\) 线性表示 \(\Rightarrow \beta\) 可由 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{s-1}\) 线性表示
（2）向量组等价的传递性
若向量组 \((I)\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 和 \((II)\beta_1,\beta_2,...,\beta_t\) 等价，则有：
（2.1）\(\gamma\) 可由 \((I)\) 线性表示 \(\Leftrightarrow \gamma\) 可由 \((II)\) 线性表示
（2.2）\(\gamma\) 不可由 \((I)\) 线性表示 \(\Leftrightarrow \gamma\) 不可由 \((II)\) 线性表示
5. 与秩、方程组的联系
（1）一个向量可由其他向量组线性表示？
（1.1）\(r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) \leq r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta) \leq r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)+1\)
（1.2）\(\beta\) 可由 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性表示 \(\Leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta) = r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) \leq s\)
从非齐次线性方程组的角度来看，是 \(Ax=b\) 有无穷多解 \(\Leftrightarrow r(A) = r(A,b) < n\)。
（1.3）\(\beta\) 可由 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 唯一线性表示 \(\Leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta) = r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) = s\)
从非齐次线性方程组的角度来看，是 \(Ax=b\) 有唯一解 \(\Leftrightarrow r(A) = r(A,b) = n\)。
（1.4）\(\beta\) 不可由 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性表示 \(\Leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta) = r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) + 1\)
从非齐次线性方程组的角度来看，是 \(Ax=b\) 无解 \(\Leftrightarrow r(A) \neq r(A,b)\)。
【注】\(\beta\) 不可由 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性表示，则：
- 原来无关，加入后无关：\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性无关 \(\Leftrightarrow \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta\) 线性无关
- 原来相关，加入后相关：\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性相关 \(\Leftrightarrow \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta\) 线性相关
（2）一个向量组可由其他向量组线性表示？【结论（1）的推广】
（2.1）\(r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) \leq r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,...,\beta_t) \leq r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)+t\)
（2.2）\(\beta_1,\beta_2,...,\beta_t\) 可由 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性表示 \(\Leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,...,\beta_t) = r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) \leq s\)
从非齐次线性方程组的角度来看，是 \(Ax=B\) 有无穷多解 \(\Leftrightarrow r(A) = r(A,B) < n\)。
【注】\(\beta_1,\beta_2,...,\beta_t\) 可由 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性表示 \(\Rightarrow r(\beta_1,\beta_2,...,\beta_t) \leq r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)\)，但逆命题不成立。
（2.3）\(\beta_1,\beta_2,...,\beta_t\) 可由 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 唯一线性表示 \(\Leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,...,\beta_t) = r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) = s\)
从非齐次线性方程组的角度来看，是 \(Ax=B\) 有唯一解 \(\Leftrightarrow r(A) = r(A,B) = n\)。
（2.4）\(\beta_1,\beta_2,...,\beta_t\) 不可由 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性表示 \(\Leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,...,\beta_t) = r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) + t\)
从非齐次线性方程组的角度来看，是 \(Ax=B\) 无解 \(\Leftrightarrow r(A) \neq r(A,B)\)。
【注】\(\beta_1,\beta_2,...,\beta_t\) 不可由 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性表示，则：
- 原来无关，加入后无关：\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性无关 \(\Leftrightarrow \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,...,\beta_t\) 线性无关
- 原来相关，加入后相关：\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性相关 \(\Leftrightarrow \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,...,\beta_t\) 线性相关
（2.5）以少表多，多的相关：若 \(\beta_1,\beta_2,...,\beta_t\) 可由 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性表示，则有：
- （2.5.1）\(s<t \Rightarrow \beta_1,\beta_2,...,\beta_t\) 线性相关
- （2.5.2）\(\beta_1,\beta_2,...,\beta_t\) 线性无关 \(\Rightarrow s \geq t\)
【证明】结论（2.5.1）和结论（2.5.2）互为逆否命题，只需证明结论（2.5.1）即可：
\(\beta_1,\beta_2,...,\beta_t\) 可由 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性表示
\(\Rightarrow r(\beta_1,\beta_2,...,\beta_t) \leq r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) \leq s < t\)
\(\Rightarrow\beta_1,\beta_2,...,\beta_t\) 线性相关
（3）向量组等价【结论（2）的推广】
设 \((I)\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 和 \((II)\beta_1,\beta_2,...,\beta_t\)，则有：
（3.1）\((I)\) 和 \((II)\) 等价 \(\Leftrightarrow (I)\) 可由 \((II)\) 线性表示，\((II)\) 也可由 \((I)\) 线性表示 \(\Leftrightarrow r(I) = r(I,II) = r(II)\)
（3.2）\(r(I) = r(II) \nRightarrow\) \((I)\) 和 \((II)\) 等价
从齐次线性方程组的角度来看，是 \(Ax=0\) 和 \(Bx=0\) 同解 \(\Leftrightarrow r(A) = r(B) =r \left(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right)\)。
6. 与线性相关性的联系
\(\beta\) 可由 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 唯一表示 \(\Leftrightarrow \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\) 线性无关，\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta\) 线性相关
7. 与矩阵的联系（\(AB=C\)）
设非零矩阵 \(A_{m \times n} = \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{matrix} \right)\) 可由列向量组表示为 \((\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m)\)。
设非零矩阵 \(B_{n \times s} = \left( \begin{matrix} b_{11} & b_{12} & ... & b_{1s} \\ b_{21} & b_{22} & ... & b_{2s} \\ ... \\ b_{n1} & b_{n2} & ... & b_{ns} \end{matrix} \right)\) 可由行向量组表示为 \(\left( \begin{matrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ ... \\ \beta_s \end{matrix} \right)\)。
设非零矩阵 \(C_{m \times s}\) 可由列向量组表示为 \((\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_s)\)，也可由行向量组表示为 \(\left( \begin{matrix} \delta_1 \\ \delta_2 \\ ... \\ \delta_m \end{matrix} \right)\)。
（1）\(AB=C \Leftrightarrow (\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m) \left( \begin{matrix} b_{11} & b_{12} & ... & b_{1s} \\ b_{21} & b_{22} & ... & b_{2s} \\ ... \\ b_{n1} & b_{n2} & ... & b_{ns} \end{matrix} \right) = (\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_s) \Leftrightarrow\) 矩阵 \(C\) 的列向量组可用矩阵 \(A\) 的列向量组线性表示 \(\Leftrightarrow r(A)=r(A,C) \Leftrightarrow Ax=C\) 有解
若加上前提条件：矩阵 \(B\) 可逆，则有：\(A=CB^{-1} \Rightarrow\) 矩阵 \(A\) 的列向量组也可用矩阵 \(C\) 的列向量组线性表示 \(\Rightarrow\) （结合上述结论可得）矩阵 \(A\) 的列向量组与矩阵 \(C\) 的列向量组等价 \(\Leftrightarrow r(A)=r(C)=r(A,C) \Leftrightarrow r(A^T)=r(C^T)=r \left(\begin{matrix} A^T \\ C^T \end{matrix} \right)\)
（2）\(AB=C \Leftrightarrow \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ ... \\ \beta_s \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \delta_1 \\ \delta_2 \\ ... \\ \delta_m \end{matrix} \right) \Leftrightarrow\) 矩阵 \(C\) 的行向量组可用矩阵 \(B\) 的行向量组线性表示 \(\Leftrightarrow r(B)=r\left(\begin{matrix} B \\ C \end{matrix} \right) \Leftrightarrow xB=C (B^Tx=C^T)\) 有解
若加上前提条件：矩阵 \(A\) 可逆，则有：\(B=CA^{-1} \Rightarrow\) 矩阵 \(B\) 的行向量组也可用矩阵 \(C\) 的行向量组线性表示 \(\Rightarrow\) （结合上述结论可得）矩阵 \(C\) 的行向量组与矩阵 \(B\) 的行向量组等价 \(\Leftrightarrow r(B)=r(C)=\left(\begin{matrix} B \\ C \end{matrix} \right) \Leftrightarrow r(B^T)=r(C^T)=r(B^T,C^T)\)
三、矩阵的秩
1. 秩的定义
（1）秩：\(r(A)=\) 非 \(0\) 子式（行列式）的阶数的最大值
（2）\(r(A)=\) 行向量组的秩 \(=\) 列向量组的秩
（3）设矩阵 \(A_{m \times n}\)，则有：
- \(0 \leq r(A) \leq min(m,n)\)
- \(r(A)=m \Leftrightarrow A\) 行满秩 \(\Leftrightarrow\) \(A\) 的行向量组线性无关
- \(r(A)=n \Leftrightarrow A\) 列满秩 \(\Leftrightarrow\) \(A\) 的列向量组线性无关
（4）设矩阵 \(A_{n \times n}\)，则有：
- \(A\) 满秩 \(\Leftrightarrow\) \(A\) 行满秩且列满秩
- \(A\) 满秩 \(\Leftrightarrow\) \(r(A)=n\) \(\Leftrightarrow\) \(A\) 的行向量组和列向量组均线性无关 \(\Leftrightarrow\) \(|A| \neq 0\) \(\Leftrightarrow\) \(A\) 可逆
（5）矩阵等价：矩阵 \(A\) 和 \(B\) 可通过初等变换互相转化，称 \(A\) 和 \(B\) 等价。
- \(A\) 和 \(B\) 等价 \(\Leftrightarrow\) \(A\) 和 \(B\) 的行列对应相等，\(r(A)=r(B)\)
2. 秩的性质
（1）关于转置矩阵的性质：
- \(r(A^TA)=r(AA^T)=r(A^T)=r(A)\)
- \(r(A,B)=\left(\begin{matrix} A^T \\ B^T \end{matrix} \right)\)
（2）\(r(cA)=r(A) (c \neq 0)\)
（3）\(|r(A)-r(B)| \leq r(A±B) \leq r(A)+r(B)\)
（4）关于拼接矩阵 \((A,B)\) 和 \(\left(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right)\) 的性质：
- \(r(A,B) \geq r(A,O) = r(A)\)，\(r(A,B) \geq r(O,B) = r(B)\)
- \(r(A±B) \leq r(A,B) \leq r(A)+r(B)\)
- \(r(A,AB)=r(A)=r \left(\begin{matrix} A \\ BA \end{matrix} \right)\)
【注】\(r(A,BA) \neq r(A)\)，这是因为 \((A,BA) = (E,B)A\) 中，\((E,B)\) 的列数和 \(A\) 的行数不相等，矩阵乘法无意义。
- \(r \left(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) \geq r \left(\begin{matrix} A \\ O \end{matrix} \right) =r(A)\)，\(r \left(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) \geq r \left(\begin{matrix} O \\ B \end{matrix} \right) =r(B)\)
- \(r(A±B) \leq r \left(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) \leq r(A)+r(B)\)
- \(r \left(\begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix} \right) = r(A)+r(B)\)
- \(r \left(\begin{matrix} A & C \\ O & B \end{matrix} \right) \geq r \left(\begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix} \right) = r(A)+r(B)\)
【注】有些资料使用 \((A|B)\) 的形式表示拼接矩阵。
（5）关于矩阵乘积 \(AB\) 的性质：
- \(r(AB) \leq r(A),r(AB) \leq r(B)\)
- \(A\) 列满秩 \(\Rightarrow r(AB)=r(B)\)（左乘列满秩矩阵，秩不变）
- \(B\) 行满秩 \(\Rightarrow r(AB)=r(A)\)（右乘行满秩矩阵，秩不变）
- \(A_{m \times n}B_{n \times s}=O \Rightarrow r(A)+r(B) \leq n\)
- \(A_{m \times n}B_{n \times s}=O,r(A)=n \Rightarrow B=O\)
（6）关于伴随矩阵 \(A^*\) 的性质：
\[r(A^*)= \begin{cases} n, & r(A) = n\\ 1, & r(A) = n-1 \\ 0, & r(A) < n-1 \end{cases} \]3. 秩与方程组
（1）齐次线性方程组
（1.1）齐次线性方程组 \(A_{m \times n}x=0\)，表示有 \(m\) 个方程，\(n\) 个未知数，其解的判定为：
\[Ax=0 \begin{cases} 无穷解, & r(A)<n（有效方程个数<未知数个数） \\ 仅有0解, & r(A)=n（有效方程个数=未知数个数） \end{cases} \]（1.2）解的性质：
- \(Ax=0\) 恰有 \(s\) 个线性无关的解 \(\Leftrightarrow Ax=0\) 的基础解系解向量个数为 \(s=n-r(A)\)
- 若 \(\eta_1,\eta_2,...,\eta_s\) 是 \(Ax=0\) 的基础解系，则通解为 \(k_1\eta_1 + k_2\eta_2+...+k_s\eta_s\)
（1.3）判断 \(\eta_1,\eta_2,...,\eta_s\) 是 \(Ax=0\) 的基础解系的步骤：
- \(\eta_1,\eta_2,...,\eta_s\) 是 \(Ax=0\) 的一组解
- \(\eta_1,\eta_2,...,\eta_s\) 线性无关
- 解向量个数需满足 \(s=n-r(A)\)
（2）非齐次线性方程组
（2.1）非齐次线性方程组 \(A_{m \times n}x=b\)，表示有 \(m\) 个方程组，\(n\) 个未知数，，其解的判定为：
\[Ax=b \begin{cases} 无穷解, r(A)<r(A,b) \\ 有解 \begin{cases} 无穷解, & r(A)=r(A,b)<n \\ 唯一解, & r(A)=r(A,b)=n \end{cases} \end{cases} \]（2.2）另外，对于方程个数 \(m\)，有：
- \(r(A) \leq m\)，\(r(A,b) \leq m\)
- \(r(A)=m \Rightarrow Ax=b\) 一定有解
- \(m < n \Rightarrow Ax=b\) 一定不是唯一解
（2.3）解的性质：
- \(Ax=b\) 有两个不同解 \(\Leftrightarrow Ax=b\) 有无穷解 \(\Leftrightarrow r(A)<n\)
- \(Ax=b\) 恰有 \(s\) 个线性无关的解 \(\Leftrightarrow Ax=0\) 恰有 \(s-1\) 个线性无关的解 \(\Leftrightarrow Ax=0\) 的基础解系解向量个数为 \(s-1\) \(\Leftrightarrow Ax=b\) 的解向量个数为 \(n-r(A)+1\)
- 若 \(\eta_1,\eta_2,...,\eta_s\) 是其导出组 \(Ax=0\) 的基础解系，\(\xi\) 是 \(Ax=b\) 的一个特解，则通解为 \(k_1\eta_1 + k_2\eta_2+...+k_s\eta_s+\xi\)