Codeforeces #1844 A~D题解
A Subtraction Game 博弈论 A+B problem
由于只有两种数字可选,若石子数量为 a + b
,先手选完之后必然为 a
或 b
,因此后手可以直接选完
B Permutations & Primes 构造
构造方法:3 5 7 9 1 10 8 6 4 2
,这样把 1
放中间可以让最多的区间拿到 1
,接下来避免同时拿到 2 3
,所以把他们放两边,剩下的数字山峰排列最优。
C Particles 思维
可以发现,每次合并的操作都不会改变左右元素的下标奇偶性,比如下标为 1 2 3
的元素,删除中间 2
,得到的新元素下标为 1
。
所以发现奇数下标和偶数下标形成的集合是独立的,相当于每次在奇数集合或偶数集合删除一个数字,那么直接分别计算答案最后取最大值就好了,贪心选正数。
特判全是负数和 \(n = 1\) 的情况
D Row Major 数论
我们先把每个点向后面第 \(p_i\) 号点连一条边,\(p_i\) 是 \(n\) 的第 \(i\) 个质因数。
设 \(k\) 为第一个不能被 \(n\) 整除的数,则染色以 \(k\) 为一个颜色周期,不断重复。
证明两个结论
- 一个周期内的所有数字都不相同
反证法:同一周期内,假设第 \(i\) 个数字和第 \(j\) 个数字相同,有 \(j - i < k\)。
由于 \(k\) 为第一个不能被 \(n\) 整除的数,所以所有 \(< k\) 的数字 \(p\) 都可以被 \(n\) 整除,也就是存在一条长度为 \(p\) 的边,由于 \(j - i < k\),所以 第 \(i\) 个数字和第 \(j\) 个数字间存在一条边,因此第 \(i\) 个数字和第 \(j\) 个数字不能相同,矛盾,原命题得证。
- 对于两个数 \(a, b\equiv x\pmod{k}\),且 \(a \ne b\),它们的颜色可以相同。
首先令 \(a < b\),如果不满足,交换 \(a, b\)。
它们之间存在一条边的充要条件是 \(b - a \mid n\),因为 \(a, b\equiv x\pmod{k}\),所以 \(b - a = t\cdot k\),因为 \(k\nmid n\), 所以 \(xk\nmid n\),因此 \(a, b\) 之间无边,可以相同。
综上所述,我们完全可以构造一个序列,以 \(k\) 为颜色周期,周期内元素不重复。
时间复杂度:\(O(n)\)。
#include <iostream>
using namespace std;
signed main()
{
ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
int T, n;
cin >> T;
while (T--)
{
int k = 1;
cin >> n;
for (; n % k == 0; k++)
;
for (int i = 1; i <= n; i++; i++)
cout << (char)('a' + i % k) << '\n';
}
return 0;
}
标签:下标,数字,题解,Codeforeces,cin,1844
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