高斯消元法-约当消元法
- \(m\)个一次方程,\(n\)个变量,可以得到\(m\)行\(n + 1\)列的增广矩阵
- 将增广矩阵通过行初等变换为行最简形
- 我们观察增广矩阵,线性方程组的解有\(3\)种情况
- 唯一解
- 有无穷多组解
- 无解
- 高斯-约旦消元法,是高斯消元法的一种,消元的结果是一个简化阶梯矩阵、
消元过程
- 从第\(1\)列开始,选择一个非\(0\)的系数(优先选择最大的的系数,避免转换为其他系数时产生过大的树数值)所在的行,把这一行移动到第\(1\)行,此时\(x_1\)是主元
- 把\(x_1\)的系数转换为\(1\)
- 利用主元\(x_1\)的系数,把其他行的这一列的主元消去
- 重复以上步骤,直到把每行都变成只有对角线上存在主元,且系数都为\(1\),最后得到行最简行矩阵,答案就是最后一列的数字
int n;
double a[N][N]; // 增广矩阵
/*
1 2 -4 0
0 0 3 3
0 0 2 2
*/
int Gauss(int n, int m) // n行m列的增广矩阵
{
int r = 0; // 增广矩阵的秩
for (int j = 1; j <= m - 1; ++j) // 枚举系数矩阵的列
{
int mx = r + 1; // 当前所在行号
for (int i = mx; i <= n; ++i) // 枚举行来找到该列绝对值最大非0系数
{
if (fabs(a[i][j]) > fabs(a[mx][j]))
mx = i;
}
if (fabs(a[mx][j]) < eps) // 对角线上主元素为0,没有唯一解,矩阵的秩不用加1
continue;
for (int i = 1; i <= m; ++i) // 将这最大系数这一行和对角线那一行进行交换
swap(a[r + 1][i], a[mx][i]);
for (int i = m; i >= j; --i) // 将这一行的主元素系数变为1
a[r + 1][i] /= a[r + 1][j];
for (int i = 1; i <= n; ++i) // 消去主元所在列的其他行的主元
{
if (i != r + 1)
{
double t = a[i][j] / a[r + 1][j];
for (int k = 1; k <= m; ++k)
a[i][k] -= t * a[r + 1][k];
}
}
r++;
}
if (r < m - 1) // 矩阵的秩小于未知量的个数(m - 1)
{
for (int i = r + 1; i <= n; ++i)
{
if (fabs(a[i][m]) > eps)
return 0; // 无解
}
return 2; // 有无穷多组解
}
return 1;
}
标签:系数,增广,int,矩阵,高斯消,元法
From: https://www.cnblogs.com/Zeoy-kkk/p/17546571.html