【剑指Offer】51、构建乘积数组

题目描述：

给定一个数组A[0,1,...,n-1],请构建一个数组B[0,1,...,n-1]。
  其中B中的元素B[i]=A[0] * A[1]... * A[i-1] * A[i+1]... * A[n-1]。不能使用除法。

解题思路：

首先，仔细理解题意，B[i]是A数组所有元素的乘积，但是没有A[i]项，如果没有不能使用除法这一限制，我们可以直接将A数组的所有元素相乘，得到一个乘积，记为res，则使用公式B[i] = res/A[i]即可得到B这个乘积数组。

现在有不能使用除法的限制，只能使用其他办法，当然，一个最直观的办法是每次计算B[i]时，都计算A数组中n-1个数字的乘积，显然这需要O(n^2)的时间复杂度。

仔细分析可以发现，这种暴力解法有很多重复的计算，我们可以通过一个简单的改变来避免这些重复计算。具体如下：

我们可以把B[i]=A[0]*A[1]*A[2]*···*A[i-1]*A[i+1]*···*A[n-1]看成是两部分的乘积，第一部分是i之前的所有项，记为C[i]，即C[i]=A[0]*A[1]*A[2]*···*A[i-1]，第二部分是i之后的所有项，记为D[i]，即D[i]=A[i+1]*···*A[n-1]。

经过这样的分隔后，数组B就相当于可以用如下的矩阵来构建，B[i]为矩阵中第i行所有元素的乘积。

由此，我们不难得出相应的规律：首先B[i]=C[i]*D[i]，而C[i]可以通过自上而下的顺序进行计算，即C[0]=1,C[i]=C[i-1]*A[i-1],同理，D[i]可以通过自下而上的顺序进行计算，即D[len-1]=1,D[i]=D[i+1]*A[i+1]。

代码如下所示，第一个for循环从上而下相当于计算C[i]，第二个for循环自下而上相当于在C[i]的基础上乘以D[i]。显然时间复杂度为O(n)。

编程实现（Java）：

import java.util.ArrayList;
public class Solution {
    public int[] multiply(int[] A) {
        /*
        思路：分成两部分的乘积，第一部分可以自上而下，第二部分自下而上
        */
        if(A==null||A.length<1)
            return A;
        int len=A.length;
        int[] B=new int[len]; 
        B[0]=1;
        for(int i=1;i<len;i++) //第一部分可以自上而下
            B[i]=B[i-1]*A[i-1];
        
        int temp=1;  //temp用来保存第二部分
        for(int i=len-2;i>=0;i--){ //第二部分可以自下而上
            temp=temp*A[i+1];
            B[i]=B[i]*temp;
        }
       return B;
    }
}