2023-06-24：给你一根长度为 n 的绳子，
请把绳子剪成整数长度的 m 段，
m、n都是整数，n > 1并且m > 1，
每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m - 1]。
请问 k[0]k[1]...*k[m - 1] 可能的最大乘积是多少？
例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。
答案需要取模1000000007。
输入: 10。
输出: 36。
答案2023-06-24：
具体步骤如下：
1.如果n <= 3，返回n-1。
2.如果n > 3，计算剩下绳子长度为n - 4，此时剩下的长度为4。
3.如果剩下的长度为0，即n为3的倍数，最后一段长度为1；如果剩下的长度为2，最后一段长度为2；如果剩下的长度为4，最后一段长度为4。
4.计算3的个数，即rest = n - (剩下的长度)；计算最后一段的长度last。
5.利用快速幂算法计算3的rest/3次方取mod后的结果，记为power(3, rest/3)。
6.返回(power(3, rest/3) * last) % mod作为最大乘积的结果。
例如，当n为10，按照上述步骤计算：
1.n > 3且不是3的倍数，剩下的长度为2，最后一段长度为2。
2.计算3的个数，rest = n - 2 = 8。
3.计算power(3, rest/3) = power(3, 8/3)。
4.返回(power(3, 8/3) * 2) % mod，计算结果为36，即最大乘积。
因此，输入为10，输出为36。
该代码的时间复杂度为O(log(n))，空间复杂度为O(1)。
在函数power中，通过快速幂算法计算x的n次方，时间复杂度为O(log(n))。在函数cuttingRope中，没有使用任何循环或递归，只有一些简单的判断和计算操作，因此时间复杂度为O(1)。
对于空间复杂度，代码只使用了常数级别的额外空间来存储变量，因此空间复杂度为O(1)。不随输入规模的增加而增加。
go完整代码如下：
package main
import "fmt"
const mod = 1000000007
// power计算x的n次方，取mod后的结果
func power(x int, n int) int {
ans := int64(1)
x64 := int64(x)
n64 := int64(n)
for n64 > 0 {
if n64&1 == 1 {
ans = (ans * x64) % mod
}
x64 = (x64 * x64) % mod
n64 >>= 1
}
return int(ans)
}
// cuttingRope根据观察得到的规律计算绳子的最大乘积
func cuttingRope(n int) int {
if n == 2 {
return 1
}
if n == 3 {
return 2
}
rest := 0
last := 0
if n%3 == 0 {
rest = n
last = 1
} else if n%3 == 1 {
rest = n - 4
last = 4
} else {
rest = n - 2
last = 2
}
return (power(3, rest/3) * last) % mod
}
func main() {
n := 10
result := cuttingRope(n)
fmt.Println("Result:", result)
}
rust完整代码如下：
const MOD: i32 = 1_000_000_007;
fn power(x: i32, n: i32) -> i32 {
let mut ans: i64 = 1;
let mut x: i64 = x as i64;
let mut n: i64 = n as i64;
while n > 0 {
if n & 1 == 1 {
ans = (ans * x) % MOD as i64;
}
x = (x * x) % MOD as i64;
n >>= 1;
}
ans as i32
}
fn cutting_rope(n: i32) -> i32 {
if n == 2 {
return 1;
}
if n == 3 {
return 2;
}
let rest = if n % 3 == 0 { n } else if n % 3 == 1 { n - 4 } else { n - 2 };
let last = if n % 3 == 0 { 1 } else if n % 3 == 1 { 4 } else { 2 };
((power(3, rest / 3) as i64 * last as i64) % MOD as i64) as i32
}
fn main() {
let n = 10;
let result = cutting_rope(n);
println!("Result: {}", result);
}
c++代码如下：
#include <iostream>
using namespace std;
const int mod = 1000000007;
// power计算x的n次方，取mod后的结果
long long power(long long x, int n) {
long long ans = 1;
while (n > 0) {
if ((n & 1) == 1) {
ans = (ans * x) % mod;
}
x = (x * x) % mod;
n >>= 1;
}
return ans;
}
// cuttingRope根据观察得到的规律计算绳子的最大乘积
int cuttingRope(int n) {
if (n == 2) {
return 1;
}
if (n == 3) {
return 2;
}
int rest = 0, last = 0;
if (n % 3 == 0) {
rest = n;
last = 1;
}
else if (n % 3 == 1) {
rest = n - 4;
last = 4;
}
else {
rest = n - 2;
last = 2;
}
return (int)((power(3, rest / 3) * last) % mod);
}
int main() {
int n = 10;
int result = cuttingRope(n);
cout << "Result: " << result << endl;
return 0;
}
c完整代码如下：
#include <stdio.h>
const int mod = 1000000007;
// power计算x的n次方，取mod后的结果
long long power(long long x, int n) {
long long ans = 1;
while (n > 0) {
if ((n & 1) == 1) {
ans = (ans * x) % mod;
}
x = (x * x) % mod;
n >>= 1;
}
return ans;
}
// cuttingRope根据观察得到的规律计算绳子的最大乘积
int cuttingRope(int n) {
if (n == 2) {
return 1;
}
if (n == 3) {
return 2;
}
int rest = 0, last = 0;
if (n % 3 == 0) {
rest = n;
last = 1;
}
else if (n % 3 == 1) {
rest = n - 4;
last = 4;
}
else {
rest = n - 2;
last = 2;
}
return (int)((power(3, rest / 3) * last) % mod);
}
int main() {
int n = 10;
int result = cuttingRope(n);
printf("Result: %d\n", result);
return 0;
}
