【斯特林数总结】

标签：总结 标号 begin end 斯特林 Bmatrix brace

第二类斯特林数

组合意义：

将n个有标号物品划分为m个无标号的非空集合的方案数，记为\(n\brace m\)

递推式

\[\begin{aligned}{0 \brace 0}&=1\\ {n \brace 0}&=0 \quad(n>0)\\ {n \brace m}&={n-1 \brace m-1}+m{n-1 \brace m}\quad(n,m>0) \end{aligned} \]

常用公式

考虑一个组合问题：把n个有标号球任意放入m个有标号盒子，求方案数
根据乘法原理依次考虑每个球放入第几个盒子，方案数即为：
\(m^n\)
我们还可以枚举放几个盒子，得到
\(\sum\limits_{i=0}^m\dbinom{m}{i}i!\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}\)
所以
\(m^n=\sum\limits_{i=0}^m\dbinom{m}{i}i!\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}\)
利用这个式子可以解决形如

\[https://www.luogu.com.cn/problem/CF932E \]

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