OI-wiki抄一点，《具体数学》抄一点，抄抄你的，抄抄他的斯特林数-OIWiki(oi-wiki.org)斯特林数及斯特林反演-y2823774827y-博客园(cnblogs.com)阶乘幂我们记下降阶乘幂\[x^{\underline{n}}=\dfrac{x!}{(x-n)!}=\prod_{k=0}^{n-1}(x-k)\]上升阶乘幂\[x^{\overline{n}}

除了组合数、卡特兰数之外，最重要的一类特殊数便是斯特林数。1.1第二类斯特林数斯特林数通常有两种，分别为第一类斯特林数和第二类斯特林数，后者通常更为重要。与组合数类似，第二类斯特林数也有自己的符号$\begin{Bmatrix}n\m\end{Bmatrix}$，其含义为把\(n\)个不同的数划分到

定义第二类斯特林数\(n\bracem\)表示\(n\)个两两不同的元素划分为\(m\)个互不区分的非空子集的方案数；第一类斯特林数\(n\brackm\)表示\(n\)个两两不同的元素划分为\(m\)个互不区分的非空轮换（可以理解为环）的方案数。第二类斯特林数的递推式：\({n\bracem}={n-1\bra

感觉这几个东西挺常用，记录一下吧。1.卡特兰数假如我们定义\(C_n\)表示第\(n\)个卡特兰数。然后我们就有一下几个式子。\(C_n=\dfrac{\dbinom{2n}{n}}{n+1}\)\(C_n=\begin{cases}\sum^n_{i=1}H_{i-1}H_{n-i}\\n\ge2\\1\end{cases}\)\(C_n=\dbin

定义第一类斯特林数\[c(n,k)=|s(n,k)|=(-1)^{n-k}s(n,k)\]给出定义：\[x^{\barn}=\sum_{k=0}^kc(n,k)x^k\\x^{\underlinen}=\sum_{k=0}^ns(n,k)x^k=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}c(n,k)x^k\]通常把\(c(n,k)\)称为无标号第一类斯特林数，\(s(n,k)\)称为有标号第一类斯特林数。

1、四则运算基础中的基础2、牛迭技术\(G_1(x)=G_0-\frac{F(G_0(x)}{F'(G_0(x))}\)如果偶遇阴间题，两个poly相互迭代，请使用拆高低位暴力解方程。因为poly题正确性永远是第一位，不熟悉的调不出来别来问我。3、整体思想1、\(F(ax)\)，如果遇见q-多项式形式的东西，请使用这个。2

妈妈生的，这个东西在模拟赛里把我干爆了。记录一些简单的内容，并不会有超纲的多项式。第二类斯特林数\(\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}\)表示第二类斯特林数，也可记作\(S(n,k)\)，组合意义是把\(n\)个不同元素划分成\(k\)个互不区分的子集的方案数。显然有递推式：\[S(n,k

第一类斯特林数：\([^n_k]\)：把\(n\)个数放入\(k\)个环中，本质不同的方案数。（要求每个环非空，环之间不区分，环可旋转）\([^n_k]=(n-1)[^{n-1}_k]+[^{n-1}_{k-1}]\)。\(\displaystyle\sum_{k=0}^n[^n_k]=n!\)。第二类斯特林数：\(\{^n_k\}\)：把\(n\)个数放入\(k\)个盒中，本质不同

定义第一类斯特林数：\({n\brackk}\)，指将\(n\)个数放入\(k\)个环中（环无区分）的方案数。第二类斯特林数：\({n\bracek}\)，指将\(n\)个数放入\(k\)个盒子（盒子无区分）的方案数。递推式：\[{n\brackk}=(n-1){n-1\brackk}+{n-1\brackk-1}\]说明：我们考虑最后一个数

对这个尚未成型的东西的目录。To-do：伯努利数&欧拉数&斐波拉契数&斯特林多项式具体数学第六章习题选做未向校外公开联考经验与教训密码是教练qq名字的小写全拼。总结和颓废一周总结这种trash就算了吧。新开始T_Q_X考拉的神秘博客搬运玩钢四玩的10.21阶段性总结知

第二类斯特林数定义：第二类斯特林数\(\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}\)，表示将\(n\)个两两不同的元素，划分为\(k\)个互不区分的非空子集的方案数量。比如\(\begin{Bmatrix}a_{1},a_{2},a_{3}\end{Bmatrix}\)只能划分成\(\begin{Bmatrix}a_{1}\end{Bmatrix}\),\(\begi

卡特兰数引入不妨从找规律开始。下标从\(0\)开始，卡特兰数的前几项为：1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786,208012,742900,2674440,9694845,35357670,129644790…那么通过认真的瞪眼观察，会发现它们满足递推关系。关于卡特兰数是一个很常见的数列。它并没有一个足够

具体数学221页给了很多斯特林恒等式，但是没有给出证明，现在我们来证明一下。前置知识斯特林数的递推公式\[{n\bracek}={n-1\bracek-1}+k{n-1\bracek}\]\[{n\brackk}={n-1\brackk-1}+(n-1){n-1\brackk}\]斯特林数的生成函数：\[\sum_{i\ge0}{n\bracei}x^i=(\sum_{k\ge

组合数学与计数复习前言：自从发现，每次打codeforces或者模拟赛，看到“方案数mod998244353”就直接跳过了，这一次为了突破此类题，所以专门对其进行复习。题单：（洛谷）链接硬核知识：加法原理和乘法原理感觉就是同类的是加和，互不影响的是乘法。这个东西常常应用在dp的转移上。容斥

第二类斯特林数定义定义\(\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}\)表示\(n\)个互不相同的元素放入\(m\)个没有区分的集合并使这\(m\)个集合非空的方案数。其中\(\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}\)可读作“\(n\)子集\(k\)”。递推式\[\begin{Bmatrix}n

求\(s(n,i),i\len,n\le2^{18}\)\(k^n=\sum_{i=1}^ks(n,i)i!C(k,i)\)设\(f_k=k^n,g_i=s(n,i)i!\)\(f_k=\sum_{i=0}^kg_iC(k,i)\)由二项式反演\(g_k=\sum_{i=0}^k(-1)^{k-i}f_iC(k,i)\)展开来\(s(n,k)k!=\sum_{i=0}^k(-1)^{k-i}i^nC(k,i)\)即\(s(n,k)=\sum_{i=

BagswithBalls标号为奇数的个数为\(c=\frac{m+1}{2}\)标号为偶数个数为\(w=m-c\)答案显然为\(ANS=\sum_{i=1}^{n}C(n,i)c^iw^{n-i}i^k\)直接算是\(O(n)\)的，但这道题\(n\)为\(1e9\)考虑第二类斯特林数化简\(i^k\)\(x^k=\sum_{i=1}^kC(x,i)s(k,i)i!\)\(ANS=\sum_{i=1}^{n}C

求解\(\sum_{x=1}^nC(n,x)x^k,n\le10^9,k\le5000\)第二类斯特林数n个不同的小球放入k个相同的盒子的方案数\(S(n,k)\)，盒子非空显然有\(S(n,k)=S(n-1,k-1)+k\cdotS(n-1,k)\)注意边界\(S(n,0)=[n==0],S(n,1)=1\)考虑到\(x^k\)可以利用第二类斯特林数化简\(x^k=\sum_{i=1}^{x

题目：CounttheBuildings题意：N座高楼，高度均不同且为1~N中的数，从前向后看能看到F个，从后向前看能看到B个，问有多少种可能的排列数。0<N,F,B<=2000首先我们知道一个结论：n的环排列的个数与n-1个元素的排列的个数相等，因为P(n,n)/n=(n-1)!。可以肯定，无论从最左边还是从最右边看，

听说第一类斯特林数啥用没有，先咕咕咕。第二类斯特林数是将\(n\)个有标号球放入\(m\)个无区别盒子的方案数（盒子不可为空）递推式:\[\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n-1\\m-1\end{bmatrix}+m\times\begin{bmatrix}n-1\\m\end{bmatrix}\]单独成一盒和

斯特林，上升幂，下降幂，普通幂的定义第二类斯特林数n\(n\brace0\)\(n\brace1\)\(n\brace2\)\(n\brace3\)\(n\brace4\)\(n\brace5\)\(n\brace6\)\(n\brace7\)\(n\brace8\)\(n\brace9\)0\(1\)\(0\)\(0\)\(0\)\(0\)\(0\)

斯特林数这一部分是我在阅读《具体数学》时做的一些类似于摘抄的东西。不过补上了很多没有给出的证明。第二类斯特林数我们记\(\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}\)表示把\(n\)个物品分为\(k\)个非空集合的方案数，读作“\(n\)集合\(k\)”。称为“第二类斯特林数”或“

斯特林数学习笔记注：本篇只为作者自己看懂，方便以后复习。注意：如无特殊说明，以下公式的范围皆为\(n\ge0\)且\(n\)为整数。因为我太菜啦，所以很多东西都只有最浅显的部分

PS：首先%周克字号过小时无法显示上升幂下降幂记得开SVG渲染\(n!=\sum_{k=0}^n\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}\\\)证明：一种排列对应一种置换\(m^n=\sum_{k=0}^m\begi

斯特林数斯特林数概述在数学中，斯特林数(Stirling)用于解决各种数学分析和组合数学问题，斯特林数是两组不同的数，均是18世纪由詹姆斯·斯特林引入并以其命名，以第一类斯