在宏观计量经济研究中，通常会使用VAR模型研究多个时间经济变量之间的数量关系情况，但是VAR模型要求数据无单位根或者同阶单整，如果无单位根通常可直接进行VAR模型构建，如果有单位根但是满足同阶单整，此时则可使用协整检验进行分析模型稳定性，通常协整关系后再建立VAR模型即可。与此同时，协整关系也是建立比如误差修正模型(SPSSAU中的ECM模型)的前提条件。如果研究变量存在协整关系则说明研究数据具有长期均衡关系。
SPSSAU共提供两种协整检验方法，分别是Johansen协整和Engle-Granger协整（也称EG协整法）。
1 背景
当前有一项美国宏观联邦基金利率、通货膨胀率和失业率的数据，数据日期从1960年第1季度到2012年第1季度，单位为季度，共计209个数据。现希望针对该3个宏观计量研究进行VAR模型构建，在构建VAR模型发现原序列数据并有单位根，但是满足同阶单整前提，因而需要研究模型是否需要稳定性，此时可进行协整检验进行分析。部分数据如下图所示：
2 理论
SPSSAU共提供两类协整检验，分别是Johansen协整和Engle-Granger协整，通常情况下选择其中一种即可。关于Johansen协整检验，SPSSAU从检验不存在协整关系的零假设开始，其后是最多1个协整关系，直至最多N-1个协整关系，共需要进行N次检验，比如本案例共有3个宏观变量，则需要进行3次检验，分别是不存在协整关系，最多一个协整关系，最多2个协整关系。
针对Engle-Granger协整（EG两步法协整检验），其原理上第1步是变量之间进行OLS归得到残差序列，第2步是检验残差序列稳定性（单位根检验，提示：此处单位根非直接单独进行的单位根检验），如果没有单位根就说明该两个变量具有协整关系。因而EG两步法协整检验时，如果有N个研究项，SPSSAU则提供N个协整关系检验结果。
3 操作
本例子操作截图如下，检验类型，Trend类型，滞后阶数这3个参数均为默认值：
关于‘检验类型’参数，默认是Johansen协整，可选为Engle-Granger协整（EG两步法协整）。
关于‘Trend类型’说明：本案例的3个数据并没有明显的趋势而且均值也不接近于0，因而选择默认的常数类型即可，绝大多数时候均应该使用常数类型。如果说研究变量的均值基本上接近于0，可以考虑使用‘None’类型，如果说研究变量有着较为明显的趋势项，此时可考虑使用‘线性趋势T’。具体更多说明可见本文档末尾的疑难解惑说明。
关于‘滞后阶数’参数，默认时滞后阶数让系统自动定阶，当然研究者也可以自主设置阶数，具体设置原则建议结合专业知识，或者信息准则越小越好进行判断，多次构建模型对比不同滞后阶数时信息准则的大小，选择出信息准则最小对应的滞后阶数模型即可。
4 SPSSAU输出结果
关于Johansen协整时，SPSSAU分别4个表格，分别说明如下：
| 项 | 说明 |
|---|---|
| 参数设置表格 | 展示基本的模型参数设置结果 |
| Johansen协整检验（迹统计量Trace） | 展示迹统计量协整结果 |
| Johansen协整检验（最大特征根） | 展示最大特征根协整结果 |
| 自动定阶 | 展示SPSSAU自动定阶结果表格，如果手工设置滞后阶数，此时不会输出该表格 |
5文字分析
上表格展示模型参数设置情况，包括检验类型、趋势类型和滞后阶数情况；本次使用Johansen协整检验法进行研究，并且让SPSSAU进行自动定阶设置，另外本次的三个宏观研究变量并没有明显的趋势性，也不明显接近于0，因而选择常数c（默认值即为常数c）。
上表格展示迹统计量结果，Johansen协整检验时可使用‘迹统计量’或者‘最大特征根’两种方法判断协整关系，建议以‘迹统计量’结果为准。上表格显示：
针对假设‘None(无协整关系)’:迹统计量值为55.047，其大于1%临界值为35.463，意味着1%水平上拒绝该假设，说明有着至少1个协整关系。
针对假设‘最多1个协整’：迹统计量值为22.529，其大于1%临界值为19.935，意味着1%水平上拒绝该假设，即说明大于1个协整关系。
针对假设‘最多2个协整’：迹统计量值为4.723，其大于5%临界值为3.841，意味着5%水平上拒绝该假设，即说明大于2个协整关系。
3个检验分别结论为至少1个协整，大于1个协整，大于2个协整关系，也即说明本案例中的三个研究变量之间均有着协整关系。
特别提示：
- Johansen协整检验时可根据迹统计量，也或者最大特征根进行协整检验，通常情况下是使用迹统计量进行判断；
- 协整检验时可能出现某项无法拒绝原假设，如果仅仅是个别没有拒绝原假设，研究者可考虑容忍接受有着协整关系作为结论，如果多数均没有拒绝原假设，则以没有协整关系作为结论更适合。也或者进行两两研究变量分别进行协整检验，具体进行分析和判别。
上表格展示最大特征根统计量结果，多数情况下使用迹统计量查看协整关系即可。从上表可知：针对假设‘None(无协整关系)’:最大特征根值为32.518，大于1%临界值为25.865，意味着1%水平上拒绝该假设，说明至少1个协整关系。
针对假设‘最多1个协整’：最大特征根值为17.807，大于5%临界值为14.264，意味着5%水平上拒绝该假设，说明至少1个协整关系。
针对假设‘最多2个协整’：其最大特征根值为4.723，大于5%临界值为3.841，意味着5%水平上拒绝该假设，说明至少2个协整关系。
3个检验分别结论为至少1个协整，大于1个协整，大于2个协整关系，也即说明本案例中的三个研究变量之间均有着协整关系。
如果是Johansen协整检验，并且参数为自动定阶设置，则SPSSAU会输出VAR模型信息准则并且基于该信息准则最小值 – 1作为滞后阶数。
SPSSAU自动定阶的原则为信息准则值越小越优，共有提供4个指标，分别是AIC、BIC、FPE和HQIC，如果按照AIC准则时应该以9阶为准， BIC准则时应该以2阶为准， FPE时应该以9阶为准， HQIC准则时应该以3阶为准。4个指标值中最小值为2阶，因而SPSSAU 4个指标分别定阶数的最小值 - 1 作为标准，即最终以1阶为准进行Johansen协整检验。
特别提示：
- 关于此处定阶为什么以信息准则等指标最小值 – 1作为标准，原因在于其对应VAR模型差分后滞后项，该处理由数学原理决定，具体可参考相关书籍。
- 与此同时，研究者可结合自身专业知识等进阶阶数设置。
如果是使用Engle-Granger法（EG两步协整法）进行本案例分析，则结果如下表格所示：
从上表格可知：针对假设‘通货膨胀率与其余项无协整关系’：p值=0.596>0.1，即意味着接受该假设即通货膨胀率与另外2项存在协整关系。
针对假设‘失业率与其余项无协整关系’：p值=0.150>0.1，即意味着接受该假设即失业率与另外2项存在协整关系。
针对假设‘联邦基金利率与其余项无协整关系’：p值=0.686>0.1，即意味着接受该假设即联邦基金利率与另外2项存在协整关系。
特别提示：
- EG两步法协整检验时可能出现某项无法拒绝原假设，如果仅仅是个别没有拒绝原假设，研究者可考虑容忍接受有着协整关系作为结论，如果多数均没有拒绝原假设，则以没有协整关系作为结论更适合。也或者进行两两研究变量分别进行协整检验，具体进行分析和判别。
6 剖析
涉及以下几个关键点，分别如下：
- SPSSAU共提供两类协整检验，分别是Johansen协整和Engle-Granger协整，通常情况下选择其中一种即可。如果是使用Johansen协整检验，其可通过迹统计量或者最大特征根进行协整关系判断，通常二选一即可，相对来看使用迹统计量判断协整关系的情况较多。
- 协整检验时可能出现某项无法拒绝原假设，如果仅仅是个别没有拒绝原假设，研究者可考虑容忍接受有着协整关系作为结论，如果多数均没有拒绝原假设，则以没有协整关系作为结论更适合。也或者进行两两研究变量分别进行协整检验，具体进行分析和判别。
- 关于Johansen协整检验时，SPSSAU自动定阶时以最小阶数 -1 作为标准。原因在于其对应VAR模型差分后滞后项，该处理由数学原理决定，具体可参考相关书籍，研究者也可结合自身专业知识进行阶数设置。
7疑难解惑
- 如果时间序列一阶单整和二阶单整，并且其它序列是二阶单整，是否可进行协整检验？
如果时间序列经过一次差分变成平稳，则称原序列是1阶单整，记为I(1)。如果时间序列经过d次差分后变成平稳序列，则称原序列是d阶单整序列，记为I(d)。同阶单整是指两个或多个时间序列同为d阶单整。只要满足此前提条件即可。 - 如果原序列平稳，是否可进行协整检验？
如果原序列数据平稳，通常不需要进行协整检验，如果需要进行，分析上也可直接使用即可。
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