NOIP2020 T2 字符串匹配

首先声明

这篇题解存在大多数让我这种人看懂的废话，如果想要速通，请另寻他解

题目简化

定义字符串乘法为 \(AB\) 为把两个字符串拼起来，定义阶乘 \(A^i\) 表示 \(\prod_{1}^i A\)

再定义 \(F(S)\) 为 \(S\) 中出现奇数次字符的数量

现给定一个字符串 \(S\)，求找到 \(S=(AB)^iC\) 的方案数（\(|A,B,C|>0\)）满足 \(F(A)\le F(C)\)

浅浅谈一下吧

我们观察这道题的数据范围，发现只允许 \(\mathcal{O}(n\log n)\) 的算法通过，那我们就会有一个思路

枚举 \(C\) 看看前面的合不合法，合法就加

那我们怎么知道这段区间合不合法呢？

容易想到，把 \(AB\) 看成同一个字符串，判断这段区间是否为 \(S^i\) 即可

问题又来了，怎么判断 \(S^i\) 呢？

联想到了，最小周期为 \(i-\pi_i\)，记为 \(p\)（使用 \(KMP\) 求解）

那只需要满足 \(p|i\) 就可以满足 \(i\) 可以被若干个 \(p\) 拼成

于是思路就来了，我们枚举 \(i\) 判断当前的 \(|S|^i\) 的周期是否合法

不过还有另外一个限制，即 \(p\) 要能拼成 \(S\) 才行（主人公是 \(S\)），即需要满足 \(p\ |\ |S|\)

那两个都需要判断吗？不需要，因为 \(i\) 本身就是 \(|S|\) 的倍数，代码如下

for (int j = i + i;/*避免出现1次方，会错*/ j < n; j += i) {
	int q = j - N[j];
	if (i % q == 0 && j / q > 1) //保证x次方（x>1） 
	统计答案
}

那怎么统计答案呢？

注意到，我们可以记一个数组 \(Per_i\) 表示当前位置满足奇数字母大于等于 \(i\) 的字符串数量

另外，\(A\) 是个前缀，说明可以直接进行更新，每过一个位置，就把 \(A[0...i]\) 加进合法的答案里

但是，我们需要预处理前缀数组 \(Pre_i\) 和后缀数组 \(Suf_i\)，即可完成这道题

注意细节

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 2e6 + 7;

typedef long long ll;

#define Ms(a, k) (memset(a, k, sizeof(a)))

int T;

char S[MAXN];

int n, N[MAXN];

int t[MAXN], Pre[MAXN], Suf[MAXN], Per[MAXN];

signed main () {
	ios :: sync_with_stdio(false);
	cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);
	
	for (cin >> T; T; T --) {
		cin >> S + 1; n = strlen(S + 1);
		
		N[1] = 0; Ms(Pre, 0); Ms(Suf, 0); Ms(Per, 0);
		
		for (int i = 2; i <= n; i ++) {
			int  p = N[i - 1];
			while (p != 0 && S[p + 1] != S[i]) p = N[p];
			if (S[p + 1] == S[i]) p ++; N[i] = p; 
		}
		
		Ms(t, 0);
		for (int i = 1; i <= n; i ++) 
			if ((++ t[S[i] - 'a' + 1]) & 1) Pre[i] = Pre[i - 1] + 1;
			else Pre[i] = Pre[i - 1] - 1; 
		Ms(t, 0);
		for (int i = n; i >= 1; i --)
			if ((++ t[S[i]] - 'a' + 1) & 1) Suf[i] = Suf[i + 1] + 1;
			else Suf[i] = Suf[i + 1] - 1;
		
		ll ans = 0;
		for (int i = 1; i < n;/*C不为空*/ i ++) {
			if (i >= 2) { //B不为空
				ans += (ll)Per[Suf[i + 1]];//1次方 
				for (int j = i + i;/*避免出现1次方，会错*/ j < n; j += i) {
					int q = j - N[j];
					if (i % q == 0 && j / q > 1) //保证x次方（x>1） 
						ans += (ll)Per[Suf[j + 1]];	
				} 
			}
			for (int j = Pre[i]; j <= 30; j ++) Per[j] ++; //A是前缀，将A[1...i]加进去
		}
		cout << ans << '\n';
	}
	return 0;
}

完结撒花✿✿ヽ(°▽°)ノ✿