LR(1) 有限状态机的压缩

上一节描述的状态机构造算法，有一步骤有些问题，特此先进行更正，有问题的步骤是这样的，在计算look ahead 集合的时候，需要把β 和 C 首尾相连后再计算First 集合，特此更正，具体算法步骤，我们再过一遍。

假定表达式形式及其look ahead 集合形式如下：

[S -> a .x β, C]

x 是非终结符， 其对应的表达式如下：

x -> . r

那么上面表达式的look ahead 集合则通过公式：
First(β C)

计算。举个具体例子：

[S -> a .x β, C]
[S -> .e , {EOI}]

此时 a 对应的部分为null, . x 对应部分为 . e, β 对应部分为 null, C 对应的集合是 {EOI}

e 对应的表达式为：
[x -> . r , First(β C)]
[e -> . e+t , First(null EOI)]
[e -> . t , First(null, EOI)]

由于First(null, EOI) = {EOI}, 由此我们生成两个新的表达式：

[e -> . e+t , {EOI}]
[e -> . t , {EOI}]

根据新生成的表达式继续构造新的表达式：
[S -> a .x β, C]
[e -> .e +t, {EOI}]

此时， a 对应的部分是null, . x 对应 . e, β对应 + t,于是First(β C) = First(+ t EOI) , 由于 + 是终结符，所以First(+ t EOI) = {+}, 由于e 对应的表达式有：
e -> . e + t
e -> . t
于是我们又有新的表达式:
[e -> .e + t, {+}]
[e -> . t , {+}]

上面的算法反复进行，直到没有新的表达式生成为止，具体步骤后面通过代码向大家演示。

LR(1) 状态机的压缩

通过上面算法构造的状态机，我们称之为LR(1)状态机，该状态机最显著的特点是，它的大小是我们最早构建的LR状态机的两倍。我们要开发的C语言编译器，对应的LR状态机的节点是287个，如果构造C语言对应的LR(1)状态机的话，那么节点数目则将近600多个，这样的话，状态机体型过于庞大，不但占用内存，而且会严重拖低效率。

由此，有必要对LR(1)状态机进行压缩，使得它的体积变小，同时原有功能不受影响。如果大家拿到代码，运行后可以发现，有很多状态节点，他们的唯一的区别在于，表达式以及表达式中，点的位置是一样的，唯一不同的是，两个节点中，表达式对应的look ahead 集合不一样，这样的节点，我们就可以将他们结合起来。举个例子，运行上面的算法后，在生成的状态机中，有两个节点情况如下：

State Number: 1
EXPR -> TERM .look ahead set: { EOI }
TERM -> TERM .TIMES FACTOR look ahead set: { EOI }
TERM -> TERM .TIMES FACTOR look ahead set: { TIMES }
EXPR -> TERM .look ahead set: { PLUS }
TERM -> TERM .TIMES FACTOR look ahead set: { PLUS }

State Number: 8
EXPR -> TERM .look ahead set: { RIGHT_PARENT }
TERM -> TERM .TIMES FACTOR look ahead set: { RIGHT_PARENT }
TERM -> TERM .TIMES FACTOR look ahead set: { TIMES }
EXPR -> TERM .look ahead set: { PLUS }
TERM -> TERM .TIMES FACTOR look ahead set: { PLUS }

大家注意看上面两个状态节点，点1和点8是通过前面算法构建的两个节点，这两个节点，表达式相同，并且点的位置也相同，唯一不同的就是表达式对应的look ahead 集合，
因此，像这样的两个点，我们就可以将他们结合成一个节点，如下：

EXPR -> TERM .look ahead set: { EOI }
TERM -> TERM .TIMES FACTOR look ahead set: { EOI }
TERM -> TERM .TIMES FACTOR look ahead set: { TIMES }
EXPR -> TERM .look ahead set: { PLUS }
TERM -> TERM .TIMES FACTOR look ahead set: { PLUS }
EXPR -> TERM .look ahead set: { RIGHT_PARENT }
TERM -> TERM .TIMES FACTOR look ahead set: { RIGHT_PARENT }

我们看到，结合后的节点，只不过是把两个节点表达式结合在一起而已。

通过上面的节点压缩后，整个状态机的体积能够被压缩一半，同时保证状态机的效率得到提高。

接下来，我们结合代码看看整个算法如何实现。