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P3985 不开心的金明

• 这道题好像是01背包，但价格 \(v[i]\) 是 \(10^9\) 级别的，意味着dp数组的第一维要开到 \(10^9\)，显然不可能

• 题目中说：

对所有的 \(i=1,2,3,…,N\)，$ min(v_i) \le v_i \le min(v_i)+3$.

• 也就是 \(v[i]\) 的最大值最小值的差不大于3，由此想到把每个 \(v[i]\) 减去 \(v[i]_{min} -1\)，再按照01背包去做

• 但是都减去一个数后无法通过一般的01背包的dp数组确定“考虑了前 \(i\) 件物品，总价为 \(j\)”中的 \(j\)，所以要把状态表示改变一下

状态表示

\[dp[j][k]表示考虑了前i件物品后（包括当前物品），选了k件物品，减去 v[i]_{min}-1 后的总价为j \]

• 所以转移方程如下

\[dp[j][k]=max(dp[j][k],dp[j-v[i]][k-1]+p[i]) \]

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int INF=1e9;

int n,w;
int mini=INF,sum,maxi;
struct Obj{
	int v,p;
}in[101];
int dp[1001][1001];

signed main(){
//	freopen("1.in","r",stdin);
	
	cin>>n>>w;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>in[i].v>>in[i].p;
		sum+=in[i].v;
		mini=min(mini,in[i].v);
	}
	mini--;
	sum-=mini*n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		in[i].v-=mini;
		
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=sum;j>=in[i].v;j--){
			for(int k=1;k<=n;k++){
				if(j+mini*k<=w)
					dp[j][k]=max(dp[j][k],dp[j-in[i].v][k-1]+in[i].p);
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=sum;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++)
			maxi=max(maxi,dp[i][j]);
	}
	cout<<maxi<<"\n";
}

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