数学：矩阵

矩阵记号

定义

一个线性方程组包含的主要信息可以用一个称为矩阵的紧凑的矩形阵列表示。

例如：

x₁ - 2x₂ +  x₃ = 0

       2x₂ - 8x₃ = 8

5x₁        - 5x₃ = 10

尺寸

矩阵的尺寸说明它包含的行数和列数

3 x 4 (读作3行4列)

系数矩阵

如果一个矩阵，只是方程组中变量的系数，我们称它为方程组的系数矩阵。

增广矩阵

如果一个矩阵，由方程组中变量的系数和常数组成，我们称它为增广矩阵。

例如：

初等行变换

1. （倍加变换）把某一行换成它本身与另一行的倍数的和。
2. （对换变换）把两行对换
3. （倍乘变换）把某一行的所有元素乘以同一个 非零数。

注意：行变换是可逆的。

行等价的

两个矩阵，如果其中一个矩阵经过一系列初等行变换成为另一个矩阵，我们称两个矩阵为行等价的。

若两个线性方程组的增广矩阵是行等价的，则它们具有相同的解集。

阶梯形矩阵

也叫消去法

定义

一个矩阵称为阶梯形（或行阶梯形），它必须有以下三个性质：

1. 某一非零行都在每一零行之上。
2. 某一行的先导元素所在列位于前一行先导元素的右边
3. 某一先导元素所在列下方元素都是零

若一个阶梯形矩阵，还满足以下两个性质，则称它为简化阶梯形（或简化行阶梯形）

1. 第一非零行的先导元素是1
2. 每一行先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素。

说明：

• 矩阵中非零行或列，指矩阵中至少包含一个非零元素的行或列。
• 非零行的先导元素，指该行中最左边的非零元素。
• 本质：先导元素构成梯形。

• 若一个矩阵具有阶梯形，就称它为阶梯形矩阵。
• 若一个矩阵具有简化阶梯形，就称它为简化阶梯形矩阵。

缩写

RREF 简化行阶梯形

REF 行阶梯形

行化简

任何非零矩阵都可以行化简（即用初等变换）变为阶梯形矩阵，但用不同的方法可化为不同的阶梯形矩阵。然而，一个矩阵只能化为唯一的简化梯形矩阵。

定理1

每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯形矩阵。

简化阶梯形矩阵的唯一性

若矩阵A行等价于阶梯形矩阵U，则称U为A的阶梯形（或行阶梯形）；若U是简化阶梯形，则称U为A的简化阶梯形。

主元位置

矩阵中的主元位置是A中对应于它的简化阶梯形中的先导元素1的位置。主元列是A的含有主元位置的列。

主元就是主元位置上的非零元素，用来通过行变换把下面的元素化为0.

基本变量 vs 自由变量

简化阶梯形矩阵中主元列的变量为基本变量，其它列变量为自由变量

通解

线性方程组：

x₁      - 5x₃ = 1

      x₂ + x₃ = 4

              0 = 0

方程组的通解：

它给出了所有解的显示表示，称为解集的参数表示。

当一个方程组是相容的，且具有自由变量时，它的解集具有多种参数表示。但是，我们总是约定使用自由变量作为参数来表示解集。

当方程组不相容时，解集是空。