题目
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有一个长度为 \(n\) 的序列 \(a_1,a_2,\dots,a_n\)。初始时，\(\forall 1\le i\le n,a_i=1\)。
接下来进行 \(d\) 轮操作。每一轮操作会以 \(\frac{a_i}{\sum_{j=1}^na_j}\) 的概率选出 \(i\) 并令 \(a_i\gets a_i+1\)。
求 \(d\) 轮操作后，\(a\) 的前 \(r\) 大的元素之和的期望。答案对 \(998244353\) 取模。
所有数据满足 \(1\le n,d\le 1.5\times 10^7,1\le r\le n\)。
分析
为了后续推导的方便，我们考虑对 \(p_i=a_i-1\) 计算，这样只需要对答案加上 \(r\) 就 OK 了。
首先研究特定的 \(p\) 出现的概率，如下所示：
\[\left(d!\prod_{i=1}^n\frac 1{(p_i)!}\right)\left(\frac{1}{n^{\overline d}}\prod_{i=1}^n(p_i)!\right)=\binom{n+d-1}{d}^{-1} \]将操作考虑为一个 \([n]^d\) 中的序列，则第一块计算了“产生的序列满足 \(p\)”的个数，第二块计算了“这样的序列产生的概率”。
接下来，我们不妨先考虑 \(r=1\) 的情况，即计算 \(\mathbb E[\max a]=1+\mathbb E[\max p]\)。
控制 \(\max p\) 最简单的方法就是枚举上界 \(m\) 并钦定 \(p\) 中所有元素都 \(<m\)。不过因为其扩展性较弱（或者，要扩展必须得引入新的元，显得非常抽象），我们这里采用 min-max 反演处理。
把这个式子列出来：
\[\mathbb E[\max p]=\sum_{S\subseteq [n],S\neq \varnothing}(-1)^{|S|-1}\mathbb E\left[\min_{x\in S}p_x\right] \]很容易想到 \(\mathbb E\left[\min_{x\in S}p_x\right]\) 仅仅和 \(|S|\) 有关，我们记这个期望的 \(\binom{n+d-1}{d}\) 倍为 \(f_{|S|}\)。计算 \(f_{k}\) 同样可以枚举一个下界 \(m\)，于是得到：
\[\begin{aligned} f_k &=[x^d]\left(\frac{1}{1-x}\right)^{n-k}\sum_{m\ge 1}\left(\frac{x^m}{1-x}\right)^k\\ &=\sum_{m\ge 1}\binom{d-mk+n-1}{n-1} \end{aligned} \]看起来很抽象，但是注意到这是一个倍数求和的形式，且每一项仅仅和 \(mk\) 相关。这意味着我们可以用 Dirichlet 后缀和快速算出 \(f\)，复杂度为 \(O(d\log\log d)\)。
最后算答案就可以 \(O(n)\) 了。
而后考虑普遍情况。这里 min-max 反演处理的好处就出来了，因为有：
\[k\operatorname{th-max}S=\sum_{T\subseteq S,|T|\ge k}(-1)^{|T|-k}\binom{|T|-1}{k-1}\min T \]它将所有第若干大都变成了最小值。相应地，答案就应该为：
\[\begin{aligned} \binom{n+d-1}{d}\sum_{j=1}^r\mathbb E[j\operatorname{th-max}p] &=\sum_{j=1}^r\sum_{k=j}^n(-1)^{k-j}\binom{k-1}{j-1}\binom{n}{k}f_k\\ &=\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}f_k\sum_{j=1}^{\min\{r,k\}}(-1)^{k-j}\binom{k-1}{j-1} \end{aligned} \]后面这个怎么处理？组合数下指标求和本身很难算，但是对于若干个 \(k\) 都要算出来则可以考虑直接递推。
设 \(g_k=\sum_{j=1}^{\min\{r,k\}}(-1)^{k-j}\binom{k-1}{j-1}\)，则容易发现当 \(k\le r\) 时 \(g_k=[k=1]\)。当 \(k>r\) 时研究其递推关系：
\[\begin{aligned} g_k &=\sum_{j=1}^r(-1)^{k-j}\binom{k-1}{j-1}\\ &=\sum_{j=1}^r(-1)^{k-j}\left(\binom{k-2}{j-1}+\binom{k-2}{j-2}\right)\\ &=-\sum_{j=1}^r(-1)^{k-1-j}\binom{k-2}{j-1}+\sum_{j=1}^{r-1}(-1)^{k-1-j}\binom{k-2}{j-1}\\ &=(-1)^{k-r}\binom{k-2}{r-1} \end{aligned} \]好吧，没有递推关系。好消息是我们直接得到了 \(g\) 的通项，那就可以 \(O(1)\) 算单项了。
最终可以以 \(O(d\log\log d+n)\) 的复杂度解决这道题。
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define rep( i, a, b ) for( int i = (a) ; i <= (b) ; i ++ )
#define per( i, a, b ) for( int i = (a) ; i >= (b) ; i -- )
const int mod = 998244353;
const int MAXN = 1.5e7 + 5, MAXP = 1e6 + 5;
template<typename _T>
inline void Read( _T &x ) {
x = 0; char s = getchar(); bool f = false;
while( s < '0' || '9' < s ) { f = s == '-', s = getchar(); }
while( '0' <= s && s <= '9' ) { x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( s - '0' ), s = getchar(); }
if( f ) x = -x;
}
template<typename _T>
inline void Write( _T x ) {
if( x < 0 ) putchar( '-' ), x = -x;
if( 9 < x ) Write( x / 10 );
putchar( x % 10 + '0' );
}
int f[MAXN];
int fac[MAXN << 1], ifac[MAXN << 1];
int prime[MAXP], pn;
bool isPrime[MAXN];
int N, D, R;
inline int Qkpow( int, int );
inline int Inv( const int &a ) { return Qkpow( a, mod - 2 ); }
inline int Mul( int x, const int &v ) { return 1ll * x * v % mod; }
inline int Sub( int x, const int &v ) { return ( x -= v ) < 0 ? x + mod : x; }
inline int Add( int x, const int &v ) { return ( x += v ) >= mod ? x - mod : x; }
inline int& MulEq( int &x, const int &v ) { return x = 1ll * x * v % mod; }
inline int& SubEq( int &x, const int &v ) { return ( x -= v ) < 0 ? ( x += mod ) : x; }
inline int& AddEq( int &x, const int &v ) { return ( x += v ) >= mod ? ( x -= mod ) : x; }
inline int C( int n, int m ) { return n < m ? 0 : Mul( fac[n], Mul( ifac[m], ifac[n - m] ) ); }
inline int Qkpow( int base, int indx ) {
int ret = 1;
while( indx ) {
if( indx & 1 ) MulEq( ret, base );
MulEq( base, base ), indx >>= 1;
}
return ret;
}
inline void EulerSieve( const int &n ) {
for( int i = 2 ; i <= n ; i ++ ) {
if( ! isPrime[i] ) prime[++ pn] = i;
for( int j = 1 ; j <= pn && 1ll * i * prime[j] <= n ; j ++ ) {
isPrime[i * prime[j]] = true;
if( ! ( i % prime[j] ) ) break;
}
}
}
inline void Init( const int &n ) {
fac[0] = 1; rep( i, 1, n ) fac[i] = Mul( fac[i - 1], i );
ifac[n] = Inv( fac[n] ); per( i, n - 1, 0 ) ifac[i] = Mul( ifac[i + 1], i + 1 );
}
int main() {
Read( N ), Read( D ), Read( R );
EulerSieve( D ), Init( D + N );
rep( i, 1, D ) f[i] = C( D - i + N - 1, N - 1 );
for( int i = 1 ; i <= pn ; i ++ )
for( int j = D / prime[i] ; j >= 1 ; j -- )
AddEq( f[j], f[j * prime[i]] );
f[1] = C( D + N - 1, N );
int ans = Mul( N, f[1] );
rep( i, R + 1, N ) {
int res = Mul( f[i], Mul( C( N, i ), C( i - 2, R - 1 ) ) );
( i - R ) & 1 ? SubEq( ans, res ) : AddEq( ans, res );
}
Write( Add( R, Mul( ans, Inv( C( N + D - 1, D ) ) ) ) ), putchar( '\n' );
return 0;
}
补充内容
如果在 \(r>1\) 的时候还要枚举上界 \(m\) 并 \(\max p\) 来算答案该怎么办？
尝试在 GF 中引入第二个元 \(y\) 表示“有多少个元素不小于 \(m\)”，那么就应有：
\[\begin{aligned} \binom{n+d-1}{d}\sum_{j=1}^r\mathbb E[j\operatorname{th-max} p] &=\sum_{j=1}^n\min\{j,r\}[x^dy^j]\sum_{m\ge 1}\left(\frac{1-x^m+yx^m}{1-x}\right)^n\\ &=\sum_{j=1}^n\min\{j,r\}\binom{n}{j}[x^d]\sum_{m\ge 1}\frac{x^{mj}(1-x^m)^{n-j}}{(1-x)^n}\\ &=\sum_{j=1}^n\sum_{k=0}^{n-j}(-1)^{k}\binom{n}{j}\binom{n-j}{k}\min\{j,r\}\sum_{m\ge 1}\binom{d-m(j+k)+n-1}{n-1}\\ &=\sum_{j=1}^n\sum_{k=0}^{n-j}(-1)^k\binom{n}{j}\binom{n-j}{k}\min\{j,r\}f_{j+k} \end{aligned} \]尝试转而枚举 \(t=j+k\)，答案变为：
\[\begin{aligned} \binom{n+d-1}{d}\sum_{j=1}^r\mathbb E[j\operatorname{th-max} p] &=\sum_{t=1}^nf_t\sum_{j=1}^t(-1)^{t-j}\binom{n}{j}\binom{n-j}{t-j} \min\{j,r\}\\ &=\sum_{t=1}^n\binom{n}{t}f_t\sum_{j=1}^t(-1)^{t-j}\binom{t}{j}\min\{j,r\} \end{aligned} \]这和 min-max 反演产生的结果已经很接近了，但是后面那个和式里面的东西还不太一样。我们分类讨论一下：
-
对于 \(j\le r\) 的部分：
\[\sum_{j=1}^{\min\{t,r\}}(-1)^{t-j}\binom{t}{j}j=t\sum_{j=1}^{\min\{t,r\}}(-1)^{t-j}\binom{t-1}{j-1} \]比较一下：多了一个 \(t\)，其它部分没差。
-
对于 \(j>r\) 的部分：
\[\begin{aligned} \sum_{j=r+1}^t(-1)^{t-j}\binom{t}{j}r &=r\sum_{j=r+1}^t(-1)^{t-j}\left(\binom{t-1}{j}+\binom{t-1}{j-1}\right)\\ &=r\cdot (-1)^{t-r-1}\binom{t-1}{r}\\ &=(t-1)\cdot (-1)^{t-r-1}\binom{t-2}{r-1} \end{aligned} \]
把两部分凑起来看。当 \(t\le r\) 的时候，只有 \(j\le r\) 的部分需要考虑，而它的结果和 \(g_t\) 一样，都是 \([t=1]\)。当 \(t>r\) 的时候，\(j\le r\) 的部分算出来为 \(t\cdot (-1)^{t-r}\dbinom{t-2}{r-1}\)，与 \(j>r\) 的部分抵消后恰好和 \(g_t\) 相同。
至于为什么这种 \(g\) 可以产生递推？
\[\sum_{j=0}^r\binom{n}{j}x^j=(1+x)\left(\sum_{j=0}^r\binom{n-1}{j}x^j\right)-\binom{n-1}{r}x^{r+1} \] 标签：min,int,Island,sum,LOJ3405,max,binom,aligned,Gem From： https://www.cnblogs.com/crashed/p/17458797.html