近世代数 [计算机数学专题(3)]

近世代数：群、环、域。

群简介

        群论：在集合的基础上引进了运算。不了解集合可以点击《集合论》。不同集合本身的交、并、补运算，而是以集合的形式和基本四则(+ - * /)运算等来表示的群。

        群论是法国数学家伽罗瓦发明，解决了五次方程问题。

        群的概念如同集合一般，是数学中最基本的概念。

常见应用场景：

•         在数学上，应用于几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析......
•         在算法竞赛里，群论多用于组合计数......
•         在计算机安全中，服务于著名的椭圆曲线加密、DES、RAS，以及子群成员问题......
•         C++的标准模版库STL就与群的同构有关......

群的封闭性

       高中我们学习的集合如：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C。

       都是数字。

       数字本身就是 +、-、*、/、乘方、开方等各种运算，单纯的集合运算只有交、并、补等并不支持加减乘除等数字的运算，所以我们可以为运算引进来。

群的定义，需要满足 4 个条件。

      NO.1 ： 封闭性，

      解释一下 NO.1：集合G中元素运算规则，

 且

 属于 集合G 的元素，op 可以表示为+、-、*、/、乘方、开方等各种运算。

      满足数字运算，并且参与运算的俩个数字本身属于集合G，运算出的结果也属于集合G，这是我们叫集合G为 "运算的封闭性"，e.g.

      2 和 3 是自然数，那么 2 + 3 也是自然数，同属于一个集合，

群的结合律

         NO.2 ：结合律，

        解释一下 NO.2：结合律表示集合G中的元素运算不用拘泥于运算顺序，

        (A op B) op C = A op (B op C)

        这数字的乘法结合律一样，

        e.g.    (1 * 2) * 3 = 1 * (2 * 3)

群的单位元

          NO.3 ：单位元，

          解释一下 NO.3：集合G中的单位元，

          单位元：元素与单位元经过运算之后的结果是元素本身。这个很好举例，假设 G 是自然数集，自然数中任意一个数乘以 1，运算结果还是那个元素。

          e.g.     9999 * 1 = 9999

          这个 1 ，就是单位元的概念。

          学术一点，对于任意元素 a，元素与元素e 的运算结果始终为 a，这个元素e 被称为单位元e。

•           a * e = a
•           a * e = e * a = a

群的逆元

           NO.4 ：

 记 

            解释一下 NO.4:  集合G中的逆元，

            逆元：假设 a 为集合G的元素，e 为单位元，对于 a 存在 

 满足等式：

•          a * b = e
•          a * b = b * a = e

                       则称 b 为当前运算符的 a 的逆元。

              e.g.   a = 10, 那么 a 的 e 是 1，因为 10 * 1 = 10。

            上面是乘法 (*号可以换成别的) 如果是运算符加法，那么逆元 b = -10。

                        p.s. 逆元通常抽象得记为  

 or 

。

群的定义

         学了上面 4 个的定义是构成群的基本条件，因此群的定义：

     在一个集合G中，满足以下 4 个条件

1. 运算符号有封闭性
2. 对于任意的元，都满足结合律
3. 存在单位元
4. 对于任意的元，都有与之对应的逆元

思考题

• 整数集Z 和 加法符号+ 能构成一个群吗 ？
•  
• 奇数集合 与 加法符号+ 能构成一个群吗 ？

                                      p.s. 不能，想一想为什么......

• 整数集Z 和 乘法符号* 能构成一个群吗 ？

                                      p.s. 不能，想一想为什么......

• 偶数集合 与 乘法符号* 能构成一个群吗 ？

                                      p.s. 不能，想一想为什么......

• 最小的群是什么 ？

              是否如同集合的空集一样，但群得存在单位元，存在元就会有逆元，ta们间的关系是 e op e = e 吗 ~

阿贝尔群

             定义在普通群上加一条交换律，就是阿贝尔群。

                 e.g. 

•                 a + b = b + a，
•                 a - b = b - a，
•                 ......

             如果只是结合律，a - b = b - a 可能会满足不了。 

             椭圆曲线中有着作为阿贝尔群的结构，即用阿贝尔群的结构为研究椭圆曲线。

同构

            上个世纪时，业界都认为：只有范畴理论(约束条件多)才能很好的处理编程问题，而模型就是范畴理论的具体实践。

            当时人们想打造一个理论模型可以映射为C++的标准模版库STL。

            这个理论模型与STL模版(俩个模型的一一映射)之间的映射便是群的同构。

            而这个理论模型的约束条件极少，很多计算机专家就表示反对。

            像 Iterator 等的基础概念，在模版库里面并没有明确定义。

            虽然数组和链表从计算角度来看并不同构，但 STL算法可以通过适当的跌代器同时处理俩种数据结构，因此才让 STL 灵活度很高。

            我们把元素个数相同的群叫同构群，所以说：如果群的元素数量是相同，那么群就相同，因为本质上ta们都是一个群。

            举个例子，当群的元素个数为 2 时，

            当群G的元素是 -1 和 1时，群的乘运算满足：

•       1 * 1 = 1
•       1 * -1 = -1
•       -1 * 1 = 1
•       -1 * -1 = 1

              我们一般化这俩个元素的群，单位元e是 1，-1是另外的元素。

               还可以把 e 替换(映射)为偶数，a 替换(映射)为奇数，符号为加法，分析起来也是满足的。

               还有许多的具体示例，但TA们本质都是一个，只是可以映射许多事物罢了。

               在群里面并不没有区别，就好像在集合中元素顺序并不影响集合......

伽罗瓦

              也许您也听说过，TA是为红颜与对手决斗而去。

              TA一生中最大的想法是推动政治革命，和大多数法国人一样想推倒君主专制。

              在一次反抗游行中被抓住，拘留 15 个月。

              到第 2 月时，法国大霍乱(医学史上最严重的一次)。

              为了安全起见，犯人都被安排到康复之家。

              伽罗瓦也是在康复之家遇到了斯蒂芬妮，怦然心动......

              可斯蒂芬妮对TA若即若离，时冷时热，伽罗瓦也是时而孤寂凄凉，时而热情洋溢。

              但斯蒂芬妮很可能是间谍，与伽罗瓦支持的党派不同，所以伽罗瓦收到的是以情敌口吻的挑战书(枪战)。   

              伽罗瓦也意识到自己时日无多，抓紧了 5 月 28、29、30 号这 3 天的时间，把自己关于群论的内容完善了出来，保留的稿件空白处，还经常能看到“我的时间不够用了”这样的短语。

             30号晚上，TA又写了 3 封遗书，其中 2 封留给他的共和党人，还有 1 封是关于群论的，留给了好友奥古斯特。        

             第二天早上的枪战中，伽罗瓦输给了那个军人情敌，腹部中了3弹，送到医院一天后死亡。    

             奥古斯特花了几年时间整理和规范伽罗瓦的手稿，而后寄给了当时著名的数学家刘维尔。

             刘维尔在 1846 年代替伽罗瓦发表了群论的思想，这时法国政治也渐渐平稳，距离伽罗瓦去世已经 24 年了。

             ......

             伽罗瓦生前也有把群论的思想写成论文，寄给法国科学院被当时大数学家柯西审稿。

             柯西回信说，下次科学院例会时打算介绍这篇论文，可例会那天柯西把所有发言时间多用于介绍自己的论文。

             于是伽罗瓦又一次寄给科学院，这次论文是被傅里叶手中，可一天天后依然没有任何回信，后来才知道傅里叶已经去世。

             ......

             刘维尔在反思为什么伽罗瓦的理论在很长一段时间内不能得到理解的原因时，写下了这样一段话：
                 过分地追求简洁是导致这一缺憾的原因。人们在处理像纯粹代数这样抽象和神秘的事物时，应该首先尽力避免这样做。

                 事实上，当你试图引导读者远离习以为常的思路进入较为困惑的领域时，清晰性是绝对必需的，就像笛卡尔说过的那样：“在讨论超前的问题时务必空前地清晰。”

                 伽罗瓦太不把这条箴言放在心上，……伽罗瓦再也回不来了！

                 我们不要再过分地作无用的批评，让我们把缺憾抛开，找一找有价值的东西,……我的热心得到了好报。

                 在填补了一些细小的缺陷后，我看出了伽罗瓦用来证明这个美妙的定理的方法是完全正确的，在那个瞬间，我体验到一种强烈的愉悦 。