5.30 模拟赛小记

A. 求 1 - N 每个数的约数集合

求 1 - N 每个数字约数集合，显然用试除法不合适，在这里用倍数法。对于每个数字找到范围内它的倍数，则这个倍数就可以标记约数了。

但是这是 syoj，作为一个成熟的 oier，你要学会高效输出，指本题卡 scanf，需要优化输出，否则你只能得到 40pts 的好成绩。

对了今天的又一经验教训：最好别用 define int long long，最好别乱开 long long，否则你会变得不幸。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int n;
vector<int> ys[N];
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
    for(int j = 1; j <= n / i; j ++ ) ys[i * j].push_back(i);
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        for(int j = 0; j < ys[i].size(); j ++ ) printf("%d ", ys[i][j]);
        puts("");
    }
}

B.求 N 的约数的个数、所有约数的和。

本题数据比较水所以就偷了个懒：用试除法暴力求约数。时间复杂度是 $\sqrt(N)$。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1e7 + 10;
int tot;
ll n, ans;
ll ys[N];
int main()
{
　　scanf("%lld", &n);
　　for(int i = 1; i <= n / i; i ++ )
　　{
　　　　if(n % i == 0)
　　　　{
　　　　　　ys[++ tot] = i;
　　　　　　if(n / i != i) ys[++ tot] = n / i;
　　　　}
　　}
　　for(int i = 1; i <= tot; i ++ ) ans += ys[i];
　　printf("%lld\n%lld", tot, ans);
}

C.求 1 ~ N 每个数的约数个数之和

如果你还像 B 一样试除法，你会得到 40pts 的好成绩；

如果你发现：对于约数 i，1 - N 中共有 $\lfloor n / i \rfloor$ 个约数，那么容易得到式子：$ ans = \sum _ {i = 1} ^ n \lfloor n / i \rfloor$

据此，你可以 $O(n)$ 求解该问题，能得到 60pts 的好成绩。

此时，通过打表，我们发现还可以优化。可以发现 $\lfloor n / i \rfloor$ 有很多都是一样的，于是累计过程中可以找出来相同的一段一起加：(n / (n / i) - i + 1) * (n / i)。复杂度 $O(2 \sqrt{N})$ 。

#include<cstdio>
#define int long long
int n, ans;
signed main()
{
　　scanf("%lld",&n);
　　for(int i = 1, j; i <= n; i = j + 1)
　　{
　　　　j = n / (n / i);
　　　　ans += (n / i) * (j - i + 1);
　　}
　　printf("%lld", ans);
}

以及，在洛谷题解里看到说本题还可以 $O(n ^ \frac{1} {3}$ $log$ $n)$ 解决，不过那就是黑题了。指路

洛谷原题