股票买卖 V

给定一个长度为 $N$ 的数组，数组中的第 $i$ 个数字表示一个给定股票在第 $i$ 天的价格。

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

• 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
• 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 $1$ 天)。

输入格式

第一行包含整数 $N$，表示数组长度。

第二行包含 $N$ 个不超过 $10000$ 的正整数，表示完整的数组。

输出格式

输出一个整数，表示最大利润。

数据范围

$1 \leq N \leq {10}^5$

输入样例：

5
1 2 3 0 2

输出样例：

3

样例解释

对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]，第一笔交易可得利润 $2-1 = 1$，第二笔交易可得利润 $2-0 = 2$，共得利润 $1+2 = 3$。

解题思路

　　状态定义有点像D. Binary String Sorting这道题，就是再把其中一个状态进行细分。

　　当枚举到第$i$天的股票时有两种状态，一种是手中有股票，另外一种是手中没有股票。由于股票的买入有冷冻期，而单纯的手中没有股票这个状态并不知道持续了几天，因此还需要堆这个状态进行细分，得到手中没有股票的第$1$天，和手中没有股票的第$\geq 2$天这两个状态。

　　定义手中有股票为状态$0$，手中没有股票的第$1$天为状态$1$，手中没有股票的第$\geq 2$天为状态$2$，因此得到下面的状态机：

　　其中箭头$\to$表示的是从第$i-1$的状态转移到第$i$天的状态。

　　由此可以得到状态转移方程：

\begin{cases}
f(i,0) = \max \left\{ f(i-1, 0), \ f(i-1, 2) - w_i \right\} \\\\
f(i,1) = f(i-1, 0) + w_i \\\\
f(i,2) = \max \left\{ f(i-1, 1), \ f(i-1, 2) \right\}
\end{cases}

　　其中初始化条件为$f(0,1) = f(0,2) = 0$，最终答案就是$\max \{ f(n, 1), \ f(n, 2) \}$。

　　AC代码如下：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 const int N = 1e5 + 10;
 5 
 6 int w[N];
 7 int f[N][3];
 8 
 9 int main() {
10     int n;
11     scanf("%d", &n);
12     for (int i = 1; i <= n; i++) {
13         scanf("%d", w + i);
14     }
15     memset(f, -0x3f, sizeof(f));
16     f[0][1] = f[0][2] = 0;
17     for (int i = 1; i <= n; i++) {
18         f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][2] - w[i]);
19         f[i][1] = f[i - 1][0] + w[i];
20         f[i][2] = max(f[i - 1][2], f[i - 1][1]);
21     }
22     printf("%d", max(f[n][1], f[n][2]));
23     
24     return 0;
25 }

参考资料

　　AcWing 1058. 股票买卖 V：https://www.acwing.com/video/395/