转载自https://www.zhihu.com/question/58814934/answer/160032303 作者：Zhao Zhang
小波分析并没有"具有比傅里叶变化更好的性质", 二者都骑在测不准原理的坎儿上,并没有谁比谁更好的情况,只存在具体问题中谁比谁更合适的情况.让我几句话讲明白小波这个事:
我们无法同时测准一个信号的频率和时域,要么频域不准,要么时域不准,这两者存在一个理论极限,是可以由数学证明的客观存在,即测不准原理.(公式详见小波十讲).
连续无限长度的傅里叶分析以完全抛弃了所有的时域信息为代价,获得了完全精确的频域信息,怎么讲? 你算个频谱,看每个频点有几个振幅值? 一个吧? 你能告诉我1000Hz在第一秒多大,第二秒多大吗? 不行吧? 因为它只有一个值.
为了解决这个问题,我们引入了滑动窗口傅里叶,滑动窗口加窗傅里叶使得每个频段既能带有时域信息又能带有频域信息,这样同一个频点在不同的时间段可以获得多个振幅值,我们就拥有了这个频点的一些时域信息,但加窗傅里叶依然受测不准原理影响,窗口尺寸越大频率测得越准时域测得越不准,反之亦然.
那小波呢? 小波变换说白了还是滑动窗口傅里叶,只不过窗口尺寸在高频取短点儿,低频窗口取长点, 使得高频在时域更准,低频在频域更准.就是这么简单!
同理的我们完全可以设计一个变换使得高频频率更准,低频时域更准,或者高频频域更准中频时域更准低频频域更准........ 但这些都是受测不准原理影响的,只可能更差,并不会比傅里叶更好.
所以你要知道,小波变换从某种意义上来说只是时频变换的一个trick,同样受到测不准原理的影响,它并没有真正获得比傅里叶更精确的信息.
因此在实际使用时,把傅里叶换成小波并不一定会得到更好的结果,这是其一.
其二, 实际使用时,虽然我们经常碰见貌似应该用小波分析的情况,但能把小波那一套原封不动套到解决方案上的情况却不多.
其三,高频窗小低频窗大这种事,只要我们不需要正交性,不做逆变换,完全可以用各种更经济,基于傅里叶或滤波器的方法实现.
其四,离散小波变换,多分辨率分析,听着高大上,实际上完全等同于完全重构FIR滤波器组,算了半天草帽小波鸡,最后得到的就是个sinc函数加窗的FIR滤波器组.想明白这个事儿以后我气得三天没吃下饭.
其五,很多时候,例如相关滤波时,用傅里叶只是为了让卷积算得更快.
综上,确实有一些需求用小波更好,但也只是一些,不是全部.
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