【BZOJ2007】【NOI2010】海拔（对偶图，最短路）

Description

YT市是一个规划良好的城市，城市被东西向和南北向的主干道划分为n×n个区域。简单起见，可以将YT市看作一个正方形，每一个区域也可看作一个正方形。从而，YT城市中包括(n+1)×(n+1)个交叉路口和2n×(n+1)条双向道路（简称道路），每条双向道路连接主干道上两个相邻的交叉路口。下图为一张YT市的地图(n = 2)，城市被划分为2×2个区域，包括3×3个交叉路口和12条双向道路。 小Z作为该市的市长，他根据统计信息得到了每天上班高峰期间YT市每条道路两个方向的人流量，即在高峰期间沿着该方向通过这条道路的人数。每一个交叉路口都有不同的海拔高度值，YT市市民认为爬坡是一件非常累的事情，每向上爬h的高度，就需要消耗h的体力。如果是下坡的话，则不需要耗费体力。因此如果一段道路的终点海拔减去起点海拔的值为h(注意h可能是负数)，那么一个人经过这段路所消耗的体力是max{0, h}（这里max{a, b}表示取a, b两个值中的较大值）。 小Z还测量得到这个城市西北角的交叉路口海拔为0，东南角的交叉路口海拔为1(如上图所示)，但其它交叉路口的海拔高度都无法得知。小Z想知道在最理想的情况下（即你可以任意假设其他路口的海拔高度），每天上班高峰期间所有人爬坡所消耗的总体力和的最小值。

Solution

显然是一个最小割问题，由于是一个网格图，我们可以比较容易地求出其对偶图，然后跑Dijkstra即可。

Code

/************************************************
 * Au: Hany01
 * Date: Aug 22nd, 2018
 * Prob: BZOJ2007 NOI2010 海拔
 * Inst: Yali High School
************************************************/

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef long double LD;
typedef pair<int, int> PII;
#define rep(i, j) for (register int i = 0, i##_end_ = (j); i < i##_end_; ++ i)
#define For(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i <= i##_end_; ++ i)
#define Fordown(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i >= i##_end_; -- i)
#define Set(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define x first
#define y second
#define pb(a) push_back(a)
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define SZ(a) ((int)(a).size())
#define INF (0x3f3f3f3f)
#define INF1 (2139062143)
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define y1 wozenmezhemecaia

template <typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }
template <typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }

inline int read() {
    static int _, __; static char c_;
    for (_ = 0, __ = 1, c_ = getchar(); c_ < '0' || c_ > '9'; c_ = getchar()) if (c_ == '-') __ = -1;
    for ( ; c_ >= '0' && c_ <= '9'; c_ = getchar()) _ = (_ << 1) + (_ << 3) + (c_ ^ 48);
    return _ * __;
}

const int maxn = 505 * 505, maxm = maxn << 2;

int n, S, T, beg[maxn], v[maxm], e, w[maxm], nex[maxm];

inline void add(int uu, int vv, int ww) { v[++ e] = vv, w[e] = ww, nex[e] = beg[uu], beg[uu] = e; }

inline int Dijkstra() {
    static priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII> > q;
    static int dis[maxn], vis[maxn];
    Set(dis, 127), dis[S] = 0, q.push(mp(0, S));
    while (!q.empty()) {
        register int u = q.top().y; q.pop();
        if (vis[u]) continue; else vis[u] = 1;
        for (register int i = beg[u]; i; i = nex[i])
            if (chkmin(dis[v[i]], dis[u] + w[i])) q.push(mp(dis[v[i]], v[i]));
    }
    return dis[T];
}

#define idx(i, j) (((i) - 1) * n + (j))

int main()
{
#ifdef hany01
    freopen("bzoj2007.in", "r", stdin);
    freopen("bzoj2007.out", "w", stdout);
#endif

    n = read(), T = (S = n * n + 1) + 1;
    //W -> E
    For(i, 1, n) add(idx(1, i), T, read());
    For(i, 1, n - 1) For(j, 1, n)
        add(idx(i + 1, j), idx(i, j), read());
    For(i, 1, n) add(S, idx(n, i), read());
    //N -> S
    For(i, 1, n) {
        add(S, idx(i, 1), read());
        For(j, 1, n - 1) add(idx(i, j), idx(i, j + 1), read());
        add(idx(i, n), T, read());
    }
    //E -> W
    For(i, 1, n) add(T, idx(1, i), read());
    For(i, 1, n - 1) For(j, 1, n)
        add(idx(i, j), idx(i + 1, j), read());
    For(i, 1, n) add(idx(n, i), S, read());
    //S -> N
    For(i, 1, n) {
        add(idx(i, 1), S, read());
        For(j, 1, n - 1) add(idx(i, j + 1), idx(i, j), read());
        add(T, idx(i, n), read());
    }

    printf("%d\n", Dijkstra());

    return 0;
}