工程数学 上机实验 (二)

上机实验二：最速下降法程序设计

1、基本要求

通过最速下降法的程序设计，为今后的约束优化方法的学习和编程奠定基础；掌握负梯度方向的定义和最速下降法的迭代；通过此次实验，进一步巩固最速下降法的基本原理和思想。

2、主要内容

（1）求解无约束优化问题

（2）终止准则取；

（3）完成最速下降法（负梯度法）的MATLAB编程、调试；

（4）要求选取多个不同的初始点，并给出迭代次数，最优函数值等相关信息，有能力的同学尝试画出最优值随迭代次数变化的曲线图；

（5）按照模板撰写实验报告，要求规范整洁。

3、操作要点

（1）最速下降法Matlab的实现；

（2）学会分析实验结果；

（3）撰写实验报告；

4、主要仪器设备

微机及Matlab软件

% 定义目标函数
f = @(x) 100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;

% 最速下降法求解
% 设定初始点和迭代终止准则
x0_list = [-2, 2; -3, 3; 0.5, -1.5]; % 多个不同的初始点
max_iter = 10000;
tol = 1e-5;

for i = 1:length(x0_list)
    x0 = x0_list(i,:);
    x = x0';
    a = 0.01; % 步长
    iter = 0;
    grad_norm = inf; % 初始化为正无穷
    while grad_norm > tol && iter < max_iter
        iter = iter + 1;
        grad = [400*x(1)^3-400*x(1)*x(2)+2*x(1)-2;
                 200*(x(2)-x(1)^2)];
        x_new = x - a*grad;
        if f(x_new) < f(x)
            x = x_new;
            a = a * 1.1; % 放大步长
        else
            a = a * 0.5; % 缩小步长
        end
        grad_norm = norm(grad);
    end
    fprintf('Initial point (%g, %g)\n', x0(1), x0(2));
    fprintf('Number of iterations: %d\n', iter);
    fprintf('Optimal point: (%g, %g)\n', x(1), x(2));
    fprintf('Optimal function value: %g\n', f(x));
    fprintf('\n');
end

运行结果：

MinHJ
Initial point (-2, 2)
Number of iterations: 10000
Optimal point: (1.02229, 1.04527)
Optimal function value: 0.000500858

Initial point (-3, 3)
Number of iterations: 10000
Optimal point: (1.07711, 1.16049)
Optimal function value: 0.00595669

Initial point (0.5, -1.5)
Number of iterations: 10000
Optimal point: (0.999932, 0.999864)
Optimal function value: 4.58761e-09