3rd 2022/5/9 题目总结·数论篇·欧拉函数·【SDOI2008】仪仗队

原题

作为体育委员，C君负责这次运动会仪仗队的训练。仪仗队是由学生组成的N * N 的方阵，为了保证队伍在行进中整齐划一，C 君会跟在仪仗队的生后方，根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐（如下图）。 现在，C 君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。

1<=n<=40000

概要

依图

思路

依图发现：能被看到的点(a,b)，中，$\gcd(a-1,b-1)=1$

所以，要求的便是1至n-1中，互质的数对数+3(图中上和右两个，并不满足该规律，因为a和b分别为1，而不选右上点是方便计数，因为会重复)

$O(n^2)$不可行，考虑欧拉函数的意义，发现就是$3+2*\sum_{i=1}^{n}\varphi(i)$

欧拉函数用欧拉筛$O(n)$求

实现部分

#include<cstdio>
using namespace std;
int n,ans;
int prime[40001],len,bz[40001],f[40001];
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=2;i<=40000;i++){
        if(bz[i]==0){
            prime[++len]=i;
            f[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=len&&prime[j]*i<=40000;j++){
            bz[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                f[prime[j]*i]=f[i]*prime[j];
                break;
            }
            else{
                f[prime[j]*i]=f[i]*(prime[j]-1);
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<n;i++){
        ans+=f[i];
    }
    ans*=2;
    ans+=3;
    printf("%d",ans);
}