2.3 浮点数的表示和运算
1.浮点数尾数的表示
1.阶码（E）：
反映数值大小；
反映浮点数的表示范围及小数点的实际位置；
常用补码或移码表示的定点整数；
2.尾数(M)：
反映精度；常用原码或补码表示的定点小数
浮点数的真值：N=R^E×M，阶码的底（称为基数）R通常为2
例：若阶码和尾数均用补码表示，求a,b的真值
a=0,01;1.1001 (分号前的是阶码，分号后的是尾数,逗号前面的是符号位)
b=0,10;0.01001
a： 阶码：+1,尾数=-0.0111（二进制）
b： 阶码：+2，尾数=+0.01001（二进制）
a的真值为-0.0111×2=-0.111
b的真值为+0.01001×2^2=+1.001
×2的几次就相当于小数点向右移几位
2.浮点数尾数的规格化
上述例子中b的尾数为+0.01001，在存储时可以存储为0 01001，第一个0是符号位，若只能存储5位，最后一位就会丢失；可以考虑规格化让它的精度更高
此时符号位后第一位是无效位，可以让尾数算术左移一位，阶码减一，此时最高位就是有效位，这就叫作左规
1.规格化浮点数尾数要求：
规定尾数的最高数值位必须是一个有效值
2.左规：
当浮点数运算的结果为非规格化时要进行规格化处理，将尾数算术左移一位，阶码减1
3.右规：
当浮点数运算的结果，尾数出现溢出（双符号位为01或者10）时，将尾数算术右移1位，阶码加1
例：a=010；00.1100， b=010；00.1000,求a+b
a=22×00.1100，b=22×00.1000
a+b=2^2×（00.1100+00.1000）
=2^2×01.0100 （此时需要右规）
=2^3×00.1010
注：采用“双符号位”，当溢出发生时，可以挽救。更高的符号位是正确的符号位
3.规格化浮点数的特点
1.用原码表示的尾数进行规格化：
正数为0.1XX…X的形式，其最大值表示为0.11…1；最小值表示为0.10…0
尾数的表示范围为1/2≤M≤（1-2^（-n））
负数为1.1XX…X的形式，其最大值表示为1.10...0；最小值表示为1.11...1。 这个前面的1是符号位
尾数的表示范围为-(1-2^(-n))≤M≤-1/2
2.用补码表示的尾数进行规格化：
正数为0.1XX…X的形式，其最大值表示为0.11…1；最小值表示为0.10…0
尾数的表示范围为1/2≤M≤（1-2^（-n））
负数为1.0XX…X的形式，其最大值表示为1.01...1；最小值表示为1.00...0。 这个前面的1是符号位
尾数的表示范围为-1≤M≤-（1/2+2^（-n））
例：某浮点数的阶码、尾数用补码表示，共4+8位：
0.110；1.1110100如何规格化？（注：补码算术左移，低位补0；补码算术右移，高位补符号位）
解：因为给出的尾数是负数，只能对其进行算术左移，因为如果右移，补的是1，无法满足补码规格化的要求；
于是就进行左移三位，变成1.0100000；左移三位相当于扩大三位，所以阶码要减3，原来是0.110是6，减3就为0.011
3.浮点数的表示范围
负上溢|可表示的负数| 负下溢 |||零||| 正下溢 |可表示的正数|正上溢
若阶码为3位，那么阶码最小为-4，若尾数为0.1那么最小的正数就为0.00001，如果要表示的数比这个还小，就出现了正下溢
如果出现正下溢和负下溢的情况，一般会把这种情况当作机器数的0进行处理
如果出现正上溢或负上溢的情况，会抛出一个异常或者中断，和后面的中断知识会有所联系
4.IEEE754标准
1.移码
移码：在补码的基础上将符号位取反。注：移码只能用于表示整数
移码的定义：移码=真值+偏置值；偏置值一般取2（n-1），也可以取其他值，例如2（n-1）-1
例：若有8位数来表示一个值，此时的偏置值为2^7=128=1000 0000B
真值=-127=-111 1111B 移码=1000 0000+（-111 1111）=0000 0001
真值=-3=-11B 移码=1000 0000 +（-11B）=0111 1101
不同的偏置值会对应不同的移码
真值-128=-1000 0000B
移码=-1000 0000+0111 1111=1111 1111 ；会向更高位借一位（？）
2.IEEE 754标准
格式：ms(数符) || E（阶码，用移码表示）||M（尾数部分，用原码表示）
| Ms(数符) | E（阶码，用移码表示） | M（尾数部分，用原码表示） |
|---|
浮点数格式
短浮点数（单精度浮点数）；长浮点数（双精度浮点数）
| 类型 | 数符（位数） | 阶码（位数） | 尾数数值（位数） | 总位数 | 偏置值（HEX） | 偏置值（DEC） |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 短浮点数(float) | 1 | 8 | 23 | 32 | 7FH | 127 |
| 长浮点数(double) | 1 | 11 | 52 | 64 | 3FFH | 1023 |
| 临时浮点数(long double) | 1 | 15 | 64 | 80 | 3FFFH | 16383 |
偏置值为2^(n-1)-1,阶码真值=移码-偏移量；计算真值时，可以将移码当作无符号数直接减去偏置值
尾数部分隐藏表示最高位的1，表示尾数为1.M
8位阶码的正常范围为-126-127，阶码全1和全0其他用处
规格化的短浮点数的真值：（-1）s×1.M×2（E-127）
规格化的长浮点数的真值：（-1）s×1.M×2（E-1023）
例1：将十进制数-0.75转换为IEEE 754的单精度浮点数格式表示。
解：（-0.75）D=（-0.11）B=（-1.1）B×2^（-1）
数符=1
尾数部分=.100000.....（隐含最高位为1）
阶码真值=-1，偏置值为127
移码=-1+127=126=0111 1110B
故-0.75为 1 01111110 1000...（共32位，尾数23位）
例2：IEEE 754的单精度浮点数C0 A0 00 00 H的值是多少
C0 A0 00 00 H -->> 1100 0000 1010 0000 0000 0000 0000 0000
数符：1 阶码：10000001 尾数：010 0000 0000 0000 0000 0000
数符为1表示是一个负数；尾数部分是.0100......（隐含最高位为1）说明真值=（1.01）B
移码为10000001，看作无符号数是129D
阶码真值=移码-偏置值=129-127=2D
故浮点数的真值=（-1.01）B×2^2=-1.25×4=-5.0
3.IEEE 754标准的表示范围
单精度浮点型能够表示的最小绝对值和最大绝对值
最小绝对值：尾数全为0，阶码最小值为-126，对应移码机器数为0000 0001，此时整体的真值为（1.0）B×2^（-126）
最大绝对值：尾数全为1，阶码最大值为127，对应移码机器数为1111 1110，此时整体的真值为（1.11...11）B×2^（127）
| 格式 | 规格化的最小绝对值 | 规格化的最大绝对值 |
|---|---|---|
| 单精度 | E=1,M=0: 1.0×2（1-127）=2(-126) | E=254,M=.11...1: 1.11...1×2（254-127）=2127×（2-2^（-23）） |
| 双精度 | E=1,M=0: 1.0×2（1-1023）=2(-1022) | E=2026,M=.11...1: 1.11...1×2（2026-1023）=21023×（2-2^（-52）） |
上面表格中的这个阶码，是把它当作无符号数时的值，下面也是把E当作无符号数时候的值
阶码全为0的特殊情况：
(1)阶码E全为0，尾数M不全为0，表示非规格化的小数±(0.XX...XX)×2^(-126)
(2)阶码E全为0，尾数M全为0，表示真值±0（根据数符位决定是正0还是负0）
在（1）中和规划化小数不同的就是隐含最高位为0，并且阶码真值固定为-126
只有1≤E≤254时，真值=（-1）s×1.M×2（E-127）
阶码全为1的特殊情况：
(1)阶码E全为1，尾数M全为0，表示无穷大±∞, ----当运算结果出现正上溢或负上溢的时候，机器通常会把结果记为正无穷或者负无穷
(2)阶码E全为1，尾数M不全为0，表示非数值“NaN”(Not a Number) ----如：0/0,∞-∞等非法运算的结果就是NaN
4.总结
由浮点数确定真值（阶码不全为0也不全为1）：
- 根据“这个浮点数”确定数符，阶码，尾数的分布
- 确定尾数1.M(注意补充最高位隐含的1)
- 确定阶码的真值=移码-偏置值（可将移码看作无符号数，用无符号数的值-偏置值）
- （-1）s×1.M×2（E-偏置值）
5.浮点数的加减运算
1.浮点数加减运算步骤
（1）对阶（小阶对大阶）
为什么是小阶对大阶？如果是大阶对小阶的话，小数点前面可能不止一位，用计算机去表示这样的一个数会比较麻烦
（2）尾数加减
（3）规格化
（4）舍入
为什么需要舍入：因为在计算机中浮点数存储位数是有限制的，所以尾数的位数也是有限制的，当尾数加减后的结果超出尾数位数的限制时，就要进行舍入
不同的舍入规则：
- 可以将多余的位数直接舍去
- 若舍去部分不为0，则末位+1（入1）
- 四舍五入原则
（5）判溢出
假设给阶码规定就只有2位来进行表示，那么如果运算后阶码超出范围，则溢出
如：9.99999×1099+9.99999×1099=19.99998×1099=1.99999×10100（这里是保留了6位尾数），此时阶码超过2位，发生溢出（注：尾数溢出未必是真的溢出，也许可以通过（3）规格化（4）舍入这两步来进行调整）
例1：求1.23456×1012+2.34567×1010（这个例子是十进制的）
（1）对阶：1.23456×1012+0.0234567×1012
（2）尾数加减：1.2580167×10^12
（3）规格化，这里的例子不需要进行规格化，但是如果尾数加减后出现0.001234×1012这种情况时，需要“左规”；或者出现12.34567×1012这种情况时，需要进行“右规”
（4）这里若只能保留6位有效尾数，可以根据舍入规则来进行舍入，譬如直接舍入（多余位直接舍去）成1.25801×10^12
（5）判断溢出的话，这里是没有溢出的
例2：已知十进制数X=-5/256、Y=+59/1024,按机器补码浮点运算规则计算X-Y，结果用二进制表示，浮点数格式如下：阶符取2位，阶码取3位，数符取2位，尾数取9位
X=-5D×(1/256)=-101B×2(-8)=-0.101B×2(-5)=-0.101B×2^(-101B)
Y=+59D×(1/1024)=+111011B×2(-10)=+0.111011B×2(-4)=+0.111011B×2^(-100)
再转化成补码：X=11011，11.011000000；Y=11100，00.111011000
再根据上面的浮点数加减运算步骤进行加减：
（1）对阶 使两个数的阶码相等，小阶对大阶，尾数右移一位，阶码加1
- 求阶差：[△E]=11011+[-Y补]=11011+00100=11111=-1，故X的阶码比Y的阶码小1；
- 对阶,X=11011，11.011000000->11100,11.101100000
（2）尾数加减 -Y=11100，11.000101000
X-Y=11.101100000+11.000101000=11100,10.110001000
（3）规格化
两位符号位不同，表明尾数溢出，所以要进行算术右移，右移1位，阶码加一
X-Y=11101,11.011000100
（4）舍入
无舍入
（5）判溢出
阶码无溢出 ，最终结果为2^(-3)×（-1001111B） ----记得要将规格化之后的补码再转回原码
2.浮点数的加减运算-舍入
“0”舍“1”入法：在尾数右移时，被移去的最高数值位为0，则舍去；被移去的最高数值位为1，则在尾数的末位加1.但是这样加1后可能会使尾数再次溢出，此时需再做一次右规。
恒置“1”法：尾数右移时，不论丢掉的最高数值位是“1”还是“0”，都使右移后的尾数末位恒置“1”。这种方法会有使尾数变大和变小的两种可能。
如：若加减结果为11100,10.110001011
0舍1入：11100,10.11000101 1->11101,11.011000110
恒置1：11100,10.11000101 1->11101,11.011000101
在规格化步骤中，右规就会遇到舍入的问题
6.强制类型转换
| 类型 | 16位机器 | 32位机器 | 64位机器 |
|---|---|---|---|
| char | 8 | 8 | 8 |
| short | 16 | 16 | 16 |
| int | 16 | 32 | 32 |
| long | 32 | 32 | 64 |
| long long | 64 | 64 | 64 |
| float | 16 | 32 | 32 |
| double | 64 | 64 | 64 |
char->int->long->double
float->double
范围、精度从小到大，转换过程没有损失（这里默认是32位机器）
32位
int：表示整数，范围-231~231-1,有效数字31位
float：表示整数及小数，范围±[2(-126)~2127×（2-2^（-23））]，有效数字23+1=24位
int->float：可能损失精度
float->int:可能溢出以及损失精度
- 浮点数是小数，转int小数部分丢失
- 浮点数太大，超出int表示范围
7.做题总结
1.8421码是十进制数的编码
2.正数的原码，反码，补码都一样
3.程序中的数字中带有E（e），表示乘10的多少次方
例：1.5678e3就表示1.5678×103；1.5e100=1.5×10100
4.对阶时，尾数的右移要带着隐含位的1一起右移
标签：表示,阶码,真值,运算,尾数,浮点数,移码,数据,规格化 From： https://www.cnblogs.com/Jinx8823/p/17380181.html