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[ 【基础过关系列】高一数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019）]
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必修第二册同步巩固，难度2颗星！
基本知识
百分位数的概念
一般地，一组数据的第\(p\)百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有\(p\%\)的数据小于或等于这个值，且至少有\((100-p)\%\)的数据大于或等于这个值.
第\(p\)百分位数也称\(p\%\)分位数.
计算一组n个数据的第p百分位数
第一步：按从小到大排列原始数据；
第二步：计算\(i=n×p\%\);
第三步：若\(i\)不是整数，而大于\(i\)的比邻整数为\(j\)，则第\(p\)百分位数为第\(j\)项数据；若\(i\)是整数，则第\(p\)百分位数为第\(i\)项与第\((i+1)\)项数据的平均数.
【例】 求数据\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)的第\(50\)百分位数、第\(60\)百分位数.
解 \(5×50\%=2.5\)不是整数，所以第\(50\)百分位数是\(3\)；
\(5×60\%=3\)是整数，所以第\(60\)百分位数是\(\dfrac{3+4}{2}=3.5\).
百分位数的特点
（1）第\(0\)百分位数为数据组中的最小数，第\(100\)百分位数为数据组中的最大数；
（2）一组数据的百分位数即可能是这组数据中的数，也可能不是；
（3）一组数据的某些百分位数可能是同一个数.
【例】 求数据\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)的第\(0\)百分位数、第\(100\)百分位数、第\(30\)百分位数、第\(40\)百分位数、第\(50\)百分位数.
解 第\(0\)百分位数是\(1\)，第\(100\)百分位数是\(5\)、第\(30\)百分位数是\(2\)、第\(40\)百分位数是\(2\)、第\(50\)百分位数是\(\dfrac{2+3}{2}=2.5\).
几个重要的百分位数
四分位数：包含第\(25\)百分位数，第\(50\)百分位数，第\(75\)百分位数.
中位数相当于第\(50\)百分位数，第\(25\)百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第\(75\)百分位数也称为第三四分位数或上四分位数.
在假设检验中，常用\(1\%\)，\(5\%\)，\(10\%\)，\(90\%\)，\(95\%\)和\(99\%\)的分位数.
总体百分位数的估计
抽样方法和样本的随机性都可能导致样本百分位数估计总体百分位数的误差.
基本方法
【题型1】 百分位数的概念
【典题1】 某地一年之内\(12\)个月的月降水量从小到大分别为：\(46\)，\(51\)，\(48\)，\(53\)，\(56\)，\(53\)，\(56\)，\(64\)，\(58\)，\(56\)，\(66\)，\(71\)，则该地区的月降水量\(20\%\)分位数和\(75\%\)分位数为( )
A．\(51\)，\(58\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(51\)，\(61\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．\(52\)，\(58\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(52\)，\(61\)
解析 该组数据从小到大排列为：\(46\)，\(48\)，\(51\)，\(53\)，\(53\)，\(56\)，\(56\)，\(56\)，\(58\)，\(64\)，\(66\)，\(71\)，因为\(20\%×12=2.4\)，计算结果不是整数，
所以\(20\%\)分位数为第\(3\)项数据，即\(51\)；
因为\(75\%×12=9\)，计算结果是整数，
所以\(75\%\)分位数为第\(9\)项和第\(10\)项数据的平均数，即 \(\dfrac{58+64}{2}=61\)．
故选：\(B\)．
点拨 计算一组\(n\)个数据的第\(p\)百分位数
第一步：按从小到大排列原始数据；
第二步：计算\(i=n×p\%\);
第三步：若\(i\)不是整数，而大于\(i\)的比邻整数为\(j\)，则第\(p\)百分位数为第\(j\)项数据；若\(i\)是整数，则第\(p\)百分位数为第\(i\)项与第\((i+1)\)项数据的平均数.
【巩固练习】
1.一组数据\(12\)，\(34\)，\(15\)，\(24\)，\(39\)，\(25\)，\(31\)，\(48\)，\(32\)，\(36\)，\(36\)，\(37\)，\(42\)，\(50\)的第\(25\)，\(75\)百分位数分别是\(\underline{\quad \quad}\)．
2.数据\(3.2\)，\(3.4\)，\(3.8\)，\(4.2\)，\(4.3\)，\(4.5\)，\(x\)，\(6.6\)的第\(65\)百分位数是\(4.5\)，则实数\(x\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
3.已知按从小到大顺序排列的两组数据:
甲组:\(27\)，\(30\)，\(37\)，\(m\)，\(40\)，\(50\)；
乙组:\(24\)，\(n\)，\(33\)，\(44\)，\(48\)，\(52\)．
若这两组数据的第\(30\)百分位数、第\(50\)百分位数都分别对应相等，则 \(\dfrac{m}{n}\)等于( )
A．\(\dfrac{4}{3}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(\dfrac{10}{7}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．\(\dfrac{12}{7}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \(\dfrac{7}{4}\)
4.如图为\(30\)位学生参加语文竞赛的成绩，并由小到大排列．
(1)求第一、二四分位数；\(\qquad \qquad\) (2)求第\(95\)百分位数．
参考答案
-
答案 \(25\)，\(39\)
解析 一组数据\(12\)，\(34\)，\(15\)，\(24\)，\(39\)，\(25\)，\(31\)，\(48\)，\(32\)，\(36\)，\(36\)，\(37\)，\(42\)，\(50\)从小到大为:\(12\)，\(15\)，\(24\)，\(25\)，\(31\)，\(32\)，\(34\)，\(36\)，\(36\)，\(37\)，\(39\)，\(42\)，\(48\)，\(50\)，
\(\because 14×25\%=3.5\)，
\(\therefore\)该组数据的第\(25\)百分位数是\(25\)，
\(\because 14×75\%=10.5\)，
第\(75\)百分位数是\(39\)．
故答案为:\(25\)，\(39\)． -
答案 \([4.5，+\infty)\)
解析 \(\because 8×65\%=5.2\)，
\(\therefore\)第\(65\)百分位数是第\(6\)个数据为\(4.5\)，
\(\therefore x≥4.5\)，
\(\therefore\)实数\(x\)的取值范围为\([4.5，+\infty)\)． -
答案 \(A\)
解析 因为甲乙两组都有\(6\)个数据，\(30\%×6=1.8\)，\(50\%×6=3\)，
所以第\(30\)百分位数为\(n=30\)，
第\(50\)百分位数为\(\dfrac{37+m}{2}=\dfrac{33+44}{2}\)，所以\(m=40\)，
所以 \(\dfrac{m}{n}=\dfrac{40}{30}=\dfrac{4}{3}\)．
故选:\(A\)． -
答案 (1) \(65\)，\(75.5\) (2) \(\dfrac{57}{2}\)
解析 (1) \(\because 30 \times 25 \%=\dfrac{15}{2}\)，
\(\therefore 30\)位学生参加语文竞赛的成绩的第一四分位数是从小到大排序后的第\(8\)个数，是\(65\)．
\(30×50\%=15\)，
\(\therefore 30\)位学生参加语文竞赛的成绩的第二四分位数是从小到大排序后的第\(15\)与\(16\)两个数的平均数:\(75.5\)，
(2) \(30 \times 95 \%=\dfrac{57}{2}\)，
\(\therefore 30\)位学生参加语文竞赛的成绩的第一四分位数是从小到大排序后的第\(29\)个数，是\(99\)．
【题型2】 根据频率直方图求百分位数
【典题1】 某校研究性学习课题小组为了了解某市工薪阶层的工资水平，从该市工薪阶层中随机调查了\(50\)位市民，调查结果如表．
| 月收入(单位:百元) | $[15，25)$ | $[25，35)$ | $[35，45)$ | $[45，55)$ | $[55，65)$ | $[65，75)$ |
| 频数 | $5$ | $10$ | $15$ | $10$ | $5$ | $5$ |
(1)完成如图的月收入频率分布直方图(注意填写纵坐标)；
(2)估计该市工薪阶层月收入的第\(25\)百分位数；
解析 (1)各组的频率分别是\(0.1\)，\(0.2\)，\(0.3\)，\(0.2\)，\(0.1\)，\(0.1\)，
所以频率分布直方图中各组的纵坐标分别是\(0.01\)，\(0.02\)，\(0.03\)，\(0.02\)，\(0.01\)，\(0.01\)，
故月收入频率分布直方图如图所示:
(2)由(1)可知，月收入在\(25\)百元以下所占比例为\(10\%\)，
月收入在\(35\)百元以下所占的比例为\(30\%\)，
因此\(25\%\)分位数一定在\([25，35)\)内，
方法1 设\(25\%\)分位数为\(x( 25<x<35)\)，
则\(10\%+0.02(x-25)=25\%\)，解得\(x=32.5\)，
方法2 \(25+10 \times \dfrac{0.25-0.1}{0.3-0.1}=32.5\)，
所以估计该市工薪阶层月收入的第\(25\)百分位数分别为\(32.5\).
点拨 在频率直方图中具体求\(p\%\)分位数，先确定在哪个区间，接着有两种方法(在频率直方图中数据如何分布是不确定的，我们默认是均匀分布的)，如本题中方法\(1\)是利用频率直方图中频率就是长方形面积的性质，设\(25\%\)分位数为\(x\)，则如下图中蓝色部分的面积为\(25\%\)，即得\(10\%+0.02(x-25)=25\%\)；方法\(2\)，按成比例来确定，其实是可设\(25\%\)分位数为\(x\)，
则\(\dfrac{0.25-0.1}{0.3-0.1}=\dfrac{x-25}{10}\)，故 \(x=25+10 \times \dfrac{0.25-0.1}{0.3-0.1}=32.5\).
这里有两点是关键：默认频率直方图中数据是均匀分布的和理解百分位数的概念.
【巩固练习】
1.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了\(100\)根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间\([5，40]\)中，其频率分布直方图如图所示，估计棉花纤维的长度的样本数据的\(80\%\)分位数是( )
A．\(30.5mm\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(30mm\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．\(29.5mm\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(29mm\)
2.为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中\(60\)株树木的底部周长(单位:\(cm\))，所得数据均在区间\([80，130]\)上，其频率分布直方图如图所示，估计一下\(60\)株树木的\(75\)百分位数是 \(\underline{\quad \quad}\)．
3.某校高一年级学生打算利用周六休息时间做义工，为了了解高一年级学生做义工时长的情况，随机抽取了高一年级\(100\)名学生进行调查，将收集到的做义工时间(单位:小时)数据分成\(6\)组:\([0，1]\)，\([1，2]\)，\([2，3]\)，\([3，4]\)，\([4，5]\)，\([5，6]\)，(时间均在\([0，6]\)内)，如图，已知上述时间数据的第\(70\)百分位数为\(3.5\)，则\(m=\) \(\underline{\quad \quad}\)，\(n=\) \(\underline{\quad \quad}\) .
4.某种产品的质量以其质量指标值\(m\)衡量，并按照质量指标值\(m\)划分等级如表:
| 质量指标值$m$ | $m<85$ | $85≤m<105$ | $m≥105$ |
| 等级 | 三等品 | 二等品 | 一等品 |
现在从某企业生产的这种产品中随机抽取了\(200\)件作为样本，检验其质量指标值\(m\)，得到的频率分布直方图如图所示(每组只含最小值，不含最大值)．
(1)求第\(75\)百分位数(精确到\(0.1\))；
(2)在样本中，按照产品等级用比例分配的分层随机抽样的方法抽取\(8\)件产品，则这\(8\)件产品中，一等品的件数是多少；
(3)将频率视为概率，已知该企业的这种产品中每件一等品的利润是\(10\)元，每件二等品和三等品的利润都是\(6\)元，试估计该企业销售\(600\)件这种产品，所获利润是多少元．
5.为深入学习贯彻***在党史学习教育动员大会上的重要讲话精神和中共中央有关决策部署，深化中学在校师生理想信念教育，引导师生学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行，哈工大附中高二年级组织本年级同学开展了一场党史知识竞赛．为了解本次知识竞赛的整体情况，随机抽取了\(100\)名学生的成绩作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中\(a\)的值，并求该次知识竞赛成绩的第\(50\)百分位数(精确到\(0.1\))；
(2)已知该样本分数在\([70，75)\)的学生中，男生占 \(\dfrac{2}{3}\)，女生占\(\dfrac{1}{3}\)，现从该样本分数在\([70，75)\)的学生中随机抽出\(2\)人，求至少有\(1\)人是女生的概率．
参考答案
-
答案 \(D\)
解析 \(\because 0.01×5+0.01×5+0.04×5+0.06×5=0.6\)，
\(0.01×5+0.01×5+0.04×5+0.06×5+0.05×5=0.85\)，
\(\therefore\)棉花纤维的长度的样本数据的\(80\%\)分位数在\([25，30]\)之间，
\(25+\dfrac{0.8-0.6}{0.05}=29\)，
故选:\(D\)． -
答案 \(112.5\)
解析 由频率分布直方图可知，底部周长小于\(110cm\)的频率为\((0.015+0.025+0.03)×10=0.7\)，
假设\(60\)株树木的\(75\)百分位数是\(m\)，
则有\(0.7+(m-110)×0.02=0.75\)，解得\(m=112.5\)，
即\(60\)株树木的\(75\)百分位数是\(112.5\)．
故答案为:\(112.5\)． -
答案 \(0.35\)，\(0.3\)
解析 由频率分布直方图可得，\(0.05+0.15+m+n+0.11+0.04=1\)，即\(m+n=0.65\)①，
又时间数据的第\(70\)百分位数为\(3.5\)，
所以\(0.05+0.15+m+(3.5-3)n=0.7\)，即\(m+0.5n=0.5\)②，
由①②可得，\(m=0.35\)，\(n=0.3\)． -
答案 (1) \(109.8\) (2)\(3\) (3)\(4500\)
解析(1)由题意可得，\((0.0025+0.0090+0.0100+0.0200+0.0260+0.0025+x)×10=1\)，
解得\(x=0.030\)，
所以\([65，105)\)的频率为\(0.625\)，\([105，115)\)的频率为\(0.26\)，
则第\(75\)百分位数在\([105，115)\)内，
所以第\(75\)百分位数为\(105+10 \times \dfrac{0.75-0.625}{0.885-0.625} \approx 109.8\)．
(2)由频率分布直方图以及等级划分规则可知，样本中三等品、二等品、一等品的频率分别为:\((0.0025+0.0100)×10=0.125\)，\((0.0200+0.0300)×10=0.5\)，
\((0.0260+0.0090+0.0025)×10=0.375\)，
所以在样本中，三等品、二等品、一等品的件数分别为\(25\)，\(100\)，\(75\)，
所以按照产品等级用比例分配分层随机抽样的方法抽取\(8\)件产品，则应抽取的一等品的件数为\(3\)件．
(3)由(2)知，从该企业的这种产品中任取一件是一等品的概率为\(0.375\)，是二等品或三等品的概率为\(0.625\)，
故该企业销售\(600\)件这种产品，所获利润约为\(600×(0.375×10+0.625×6)=4500\)(元)． -
答案 (1) \(86.7\) (2) \(\dfrac{3}{5}\)
解析(1)由频率分布直方图可得，\((0.012+0.028+0.036+0.040+0.06+a)×5=1\)，
解得\(a=0.024\)，
设此次环保知识竞赛成绩的第\(50\)百分位数为\(x\)，
则\((0.024+0.036+(90-x)/5×0.06)×5=0.5\)，解得\(x≈86.7\)；
(2)由频率分布直方图可知，样本在\([70，75)\)的学生人数为\(0.012×5×100=6\)人，
其中男生为\(6 \times \dfrac{2}{3}=4\)人，用\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\)表示，
女生为 \(6 \times \dfrac{1}{3}=2\)人，用\(e\)，\(f\)表示，
则从\(6\)人中随机抽取\(2\)人的结果有:\(ab\)，\(ac\)，\(ad\)，\(ae\)，\(af\)，\(bc\)，\(bd\)，\(be\)，\(bf\)，\(cd\)，\(ce\)，\(cf\)，\(de\)，\(df\)，\(ef\)共\(15\)种，
至少有\(1\)人是女生有\(ae\)，\(af\)，\(be\)，\(bf\)，\(ce\)，\(cf\)，\(de\)，\(df\)，\(ef\)共\(9\)种，
故至少有\(1\)人是女生的概率为 \(\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}\)．
分层练习
【A组---基础题】
1.以下数据为参加数学竞赛决赛的\(15\)人的成绩：\(56\)，\(70\)，\(72\)，\(78\)，\(79\)，\(80\)，\(81\)，\(83\)，\(84\)，\(86\)，\(88\)，\(90\)，\(91\)，\(94\)，\(98\)，则这\(15\)人成绩的\(70\%\)分位数是( )
A．\(86\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(87\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．\(88\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(89\)
2.甲、乙两组各八名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)如下
甲:\(9\)，\(16\)，\(25\)，\(18\)，\(24\)，\(x\)，\(27\)，\(24\)．
乙:\(8\)，\(17\)，\(y\)，\(13\)，\(24\)，\(28\)，\(20\)，\(22\)．
已知甲组数据的\(25\%\)分位数为\(14\)，乙组数据的平均数为\(18.5\)，则\(x\)，\(y\)的值分别为( )
A．\(12\)，\(16\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(12\)，\(18\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(14\)，\(16\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(14\)，\(18\)
3.某校从高一新生中随机抽取了一个容量为\(10\)的身高样本，数据(单位:\(cm\))从小到大排序下:\(158\)，\(165\)，\(165\)，\(167\)，\(168\)，\(169\)，\(x\)，\(172\)，\(173\)，\(175\)．若样本数据的第\(60\)百分位数是\(170\)，则\(x=\)( )
A．\(169\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(170\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(171\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(172\)
4.如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分\(3\)组，分别为\([5，10)\)，\([10，15)\)，\([15，20]\)．估计样本数据的第\(60\)百分位数是( )
A．\(14\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(15\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．\(16\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(17\)
5.如图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的\(25\%\)分位数为( )
A．\(66.5\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(67\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．\(67.5\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D．\(68\)
6.某校从高一新生中随机抽取了一个容量为\(20\)的身高样本，数据从小到大排序如下(单位:\(cm\)):\(152\)，\(155\)，\(158\)，\(164\)，\(164\)，\(165\)，\(165\)，\(165\)，\(166\)，\(167\)，\(168\)，\(168\)，\(169\)，\(170\)，
\(170\)，\(170\)，\(171\)，\(x\)，\(174\)，\(175\)．若样本数据的第\(90\)百分位数是\(173\)，则\(x\)的值为\(\underline{\quad \quad}\)．
7.以下数据为参加数学竞赛决赛的\(15\)人的成绩：(单位：分)
\(78\)，\(70\)，\(72\)，\(86\)，\(88\)，\(79\)，\(80\)，\(81\)，\(94\)，\(84\)，\(56\)，\(98\)，\(83\)，\(90\)，\(91\)．
则这\(15\)人成绩的第\(80\)百分位数是\(\underline{\quad \quad}\)．
8.已知甲、乙两组数据(已按从小到大的顺序排列)：
甲组：\(27\)、\(28\)、\(39\)、\(40\)、\(m\)、\(50\)；
乙组：\(24\)、\(n\)、\(34\)、\(43\)、\(48\)、\(52\)．
若这两组数据的\(30\)百分位数、\(80\)百分位数分别相等，则 \(\dfrac{m}{n}\)等于\(\underline{\quad \quad}\) .
9.对某市“四城同创”活动中\(800\)名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为\([25，30)\)的数据不慎丢失则依据此图可得:
(1)\([25，30)\)年龄组对应小矩形的高度为 \(\underline{\quad \quad}\)；
(2)由频率分布直方图估计志愿者年龄的\(95\%\)分位数为\(\underline{\quad \quad}\)岁．
10.2020年，面对突如其来的新冠肺炎疫情，在党中央领导下，各地区各部门统筹疫情防控和分配医疗救护资源，指挥各医院妥善收治发热病人．某市医院为了解病人对医院防疫举措的满意度情况，从当日收治的\(3000\)名病人中，随机访问了\(100\)名病人，根据其对医院满意度的评分，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中\(a\)的值及该样本的第\(50\)百分位数；
(2)规定:病人对医院满意度的评分高于\(80\)分为“满意”，试估计该医院当日\(3000\)名病人中“满意”的人数．
11.《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试(满分:\(100\)分)，并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中\(m\)的值；
(2)估计该组测试成绩的第\(57\)百分位数；
(3)该社区在参加问卷且测试成绩位于区间\([80，90)\)和\([90，100]\)的居民中，采用分层随机抽样，确定了\(5\)人．若从这\(5\)人中随机抽取\(2\)人作为该社区民法典宣讲员，设事件\(A=\)“两人的测试成绩分别位于\([80，90)\)和\([90，100]\)”，求\(P(A)\)．
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 该组数据从小到大排列为：\(56\)，\(70\)，\(72\)，\(78\)，\(79\)，\(80\)，\(81\)，\(83\)，\(84\)，\(86\)，\(88\)，\(90\)，\(91\)，\(94\)，\(98\)．
且\(15×70\%=10.5\)，
所以这\(15\)人成绩的第\(70\)百分位数是\(88\)．
故选：\(C\)． -
答案 \(A\)
解析 根据题意，甲组\(8\)个数据为\(9\)，\(16\)，\(25\)，\(18\)，\(24\)，\(x\)，\(27\)，\(24\)，
若其\(25\%\)分位数为\(14\)，\(8×25\%=2\)，
则有\(9<x<16\)且\(\dfrac{1}{2}(x+16)=14\)，解可得\(x=12\)，
对于乙组数据\(8\)，\(17\)，\(y\)，\(13\)，\(24\)，\(28\)，\(20\)，\(22\)，
若其平均数为\(18.5\)，则有 \(\dfrac{1}{8}(8+17+y+13+24+28+20+22)=18.5\)，
解可得:\(y=16\)，
故选:\(A\)． -
答案 \(C\)
解析 因为\(60\%×10=6\)，
则第\(60\)百分位数为\(\dfrac{169+x}{2}=170\)，解得\(x=171\)，
故选:\(C\)． -
答案 \(A\)
解析 由频率分布直方图知，第\(1\)组的频率为\(0.04×5=0.2\)，
第\(2\)组的频率为\(0.10×5=0.5\)，
设样本数据的第\(60\)百分位数是\(x\)，则\(0.2+0.10(x-10)=0.6\)，
解得\(x=14\)，
所以估计样本数据的第\(60\)百分位数是\(14\)．
故选:\(A\)． -
答案 \(C\)
解析 \(\because\)第一组的频率为\(0.010×10=0.1\)，
前两组的频率之和为\((0.010+0.020)×10=0.3\)，
\(\therefore\)第\(25\%\)分位数在\([60，70]\)内，
\(\therefore\)第\(25\%\)分位数为 \(60+\dfrac{0.25-0.1}{0.2} \times 10=67.5\)，
故选:\(C\)． -
答案 \(172\)
解析 百分位数的意义就在于，我们可以了解的某一个样本在整个样本集合中所处的位置，本题第\(90\)百分位数是\(173\)，即比\(173\)小的数据占\(90\%\)，
故答案为:\(172\)． -
答案 \(90.5\)
解析 该组数据从小到大排列为：\(56\)，\(70\)，\(72\)，\(78\)，\(79\)，\(80\)，\(81\)，\(83\)，\(84\)，\(86\)，\(88\)，\(90\)，\(91\)，\(94\)，\(98\)．且\(15×80\%=12\)，
所以这\(15\)人成绩的第\(80\)百分位数是 \(\dfrac{1}{2}(90+91)=90.5\)．
故答案为：\(90.5\)． -
答案 \(\dfrac{12}{7}\)
解析 因为\(6×30\%=1.8\)，\(6×80\%=4.8\)，
所以乙组的\(30\)百分位数为\(n=28\)，甲组的\(80\)百分位数为\(m=48\)，
则 \(\dfrac{m}{n}=\dfrac{48}{28}=\dfrac{12}{7}\)． -
答案 (1) \(0.04\) (2)\(42.5\)
解析 (1)设\([25，30)\)年龄组对应小矩形的高度为\(h\)，
则\(5×(0.01+h+0.07+0.06+0.02)=1\)，解得\(h=0.04\)．
(2)由图可知，年龄小于\(40\)岁的概率为\(5×(0.01+0.04+0.07+0.06)=0.9\)，且所以志愿者的年龄都小于\(45\)岁，
所以志愿者年龄的\(95\%\)分位数为\(40+\dfrac{0.95-0.9}{1-0.9} \times 5=42.5\)岁． -
答案 (1) \(a=0.010\)，第\(50\)百分位数\(85\) (2) \(2100\)
解析 (1)\(\because (0.005+a+0.015+0.030+0.040)×10=1\)，
\(\therefore a=0.010\)．
\(\because\)前\(3\)组频率之和为\((0.005+0.010+0.015)×10=0.3<0.5\)，
前\(4\)组频率之和为\((0.005+0.010+0.015+0.040)×10=0.7>0.5\)，
\(\therefore\)第\(50\)百分位数为: \(80+\dfrac{0.7-0.5}{0.4} \times 10=85\)．
(2)由频率分布直方图得样本中“满意”的频率为:\((0.04+0.03)×10=0.7\)，
\(\therefore\)由样本估计总体，\(3000\)名病人中“满意”的人数大约为:\(3000×0.7=2100\)人． -
答案 (1) \(0.016\)；(2) \(79\)；(3) \(\dfrac{3}{5}\)
解析 (1)由已知\((0.004+0.006+0.02+0.03+0.024+m)×10=1\)，解得\(m=0.016\)．
(2)测试成绩落在区间\([40，70)\)的频率为\((0.004+0.006+0.02)×10=0.3\)，
落在区间\([40，80)\)的频率为\((0.004+0.006+0.02+0.03)×10=0.6\)，
所以设第\(57\)百分位数为\(a\)，有\(0.3+(a-70)×0.03=0.57\)，
解得\(a=79\)；
(3)由题知，测试分数位于区间\([80，90)\)、\([90，100)\)的人数之比为 \(\dfrac{0.24}{0.16}=\dfrac{3}{2}\)，
所以采用分层随机抽样确定的\(5\)人，在区间\([80，90)\)中\(3\)人，用\(A_1\)，\(A_2\)，\(A_3\)表示，
在区间\([90，100)\)中\(2\)人，用\(B_1\)，\(B_2\)表示，
从这\(5\)人中抽取\(2\)人的所有可能情况有:
\((A_1，A_2 )\)，\((A_1，A_3 )\)，\((A_1，B_1 )\)，\((A_1，B_2 )\)，\((A_2，A_3 )\)，\((A_2，B_1 )\)，\((A_2，B_2 )\)，\((A_3，B_1 )\)，\((A_3，B_2 )\)，\((B_1，B_2 )\)，共\(10\)种，
其中“落在区间\([80，90)\)和\([90，100)\)”有\(6\)种，
所以 \(P(A)=\dfrac{3}{5}\)．
【B组---提高题】
1.数据\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(6\)，\(a\)，\(10\)，\(11\)的第\(50\)百分位数是\(6\)，第\(80\)百分位数是\(10\)，则实数\(a\)的取值范围是( )
A．\([6，+∞)\) \(\qquad \qquad\) B．\([10，+∞)\) \(\qquad \qquad\) C．\([6，10]\) \(\qquad \qquad\)D．\((6，10)\)
参考答案
- 答案 \(C\)
解析 由题意可知\(i=n×p\%=7×50\%=3.5\)，
所以第\(50\)百分位数是第\(4\)个数据，所以\(a≥6\)，
\(i=n×p\%=7×80\%=5.6\)，
所以第\(80\)百分位数是第\(6\)个数据，所以\(a≤10\)，
故选:\(C\)．