什么是期望

当我们在做一些题目的时候可能会 balablabla 一堆，然后问你 XXX 的期望，这个时候像我这种连期望定义都不知道的人就傻了，所以先来了解一下定义是什么。

我们现在有一个变量 \(x\) 和一个序列 \(a\)，其中值为 \(a_{i}\) 的数可能不只有一个，\(x\) 的取值可能为 \(a_{1}\) 到 \(a_{n}\) 中任意一个数的值，我们用 \(P(A)\) 来表示 \(x\) 能取到值为 \(A\) 的概率；如果 \(A\) 在序列 \(a\) 中出现的次数为 \(m\)，则 \(P(A)=\frac{m}{n}\)，对序列 \(a\) 进行去重得到序列 \(b\)，元素个数为 \(k\)，则 \(x\) 取值的期望为 $$\sum_{i=1}^{k} P(b_{i})\times b_{i} $$

比如说，你掷一个六面的骰子，朝上的点数的期望就是 $$1\times \frac{1}{6}+2\times \frac{1}{6}+3\times \frac{1}{6}+4\times \frac{1}{6}+5\times \frac{1}{6}+6\times \frac{1}{6}=\frac{7}{2}$$

引入

看完上面的内容，应该对于期望有了一定的了解了，我们不妨来举一个简单的例子。

在一个游戏里面，你的人物基础的攻击力为 \(1500\)，暴击率为 \(37\%\)，暴击伤害翻倍。

那么就是说你每次的攻击都有 \(\frac{37}{100}\) 的概率会造成 \(3000\) 的伤害，\(\frac{63}{100}\) 的概率是造成 \(1500\) 的伤害。

那么你每次攻击所造成的伤害值期望为 $$\frac{37}{100}\times 3000+\frac{63}{100}\times 1500=2055$$

或者再看另一个例子。

有一个商场开设了一个活动，每一个用户可以转动两个转盘来获取奖金，如下图：