codeforces 559C Gerald and Giant Chess(dp+组合数学)

题目链接：

codeforces 559C

题目大意：

给出一个h*r的矩阵，从左上角走到右下角，中间有一些点不能经过，问不同的路径有多少种？

题目分析：

• 首先我们考虑一个n*m的矩阵，从左上角只能向右或向下走能走到右下角的方案数，也就是C(n+m,n),就是一共要走n+m次，选出n次横着走。
• 那么我们定义dp[i]表示在前不经过黑块的情况下到达第i个黑块的方案数。
• dp[i]=Cxixi+yj−∑xj<=xiandyj<=yidp[j]⋅Cxi−xjxi+yi−xj−yj
• 相当于是每次统计之前没有雷的情况到达当前点的情况数，再减去到达每个雷的情况*以每个雷为起点到达第i个雷的情况数，利用求补集的方法进行求解。
• 只需要将右下角的点当作一个雷，直接按照转移方程转移即可。

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define MAX 200007

using namespace std;

typedef long long LL;

const LL mod = 1e9+7;

LL f[MAX];
LL dp[MAX];
int h,w,n;
struct Node
{
    int x,y;
    bool operator < ( const Node & a ) const
    {
        return x+y < a.x+a.y;
    }
}p[MAX];

LL inv ( LL num , LL n )
{
    LL ret = 1;
    while ( n )
    {
        if ( n&1 )
        {
            ret *= num;
            ret %= mod;
        }
        num *= num;
        num %= mod;
        n >>= 1;
    }
    return ret;
}

void init ( )
{
    f[0] = 1 , f[1] = 1;
    for ( int i = 2 ; i < MAX ; i++ )
        f[i] = f[i-1]*i%mod;
}

LL C ( int i , int j )
{
    return f[i]*inv( f[j]*f[i-j]%mod , mod-2 )%mod;
}

int main ( )
{
    init ( );
    while ( ~scanf ("%d%d%d" , &h , &w , &n ) )
    {
        for ( int i = 0 ; i < n ; i++ )
        {
            scanf ("%d%d" , &p[i].x , &p[i].y );
            p[i].x--;p[i].y--;
        }
        p[n].x = h-1 , p[n].y = w-1;
        sort ( p , p+n+1 );
        memset ( dp , 0 , sizeof ( dp ));
        for ( int i = 0; i <= n ; i++ )
        {
            int x = p[i].x , y = p[i].y;
            dp[i] = C ( x+y , x );
            for ( int j = 0 ; j < i ; j++ )
            {
                int u = p[j].x , v = p[j].y;
                if ( u > x || v > y ) continue;
                dp[i] -= C( x-u+y-v , x-u )*dp[j]%mod;
                dp[i] = (dp[i]%mod+mod)%mod;
            }
            //cout << i << " : " << dp[i] << endl;
        }

        printf ( "%I64d\n" , dp[n] );
    }
}