清华21内推/预推免试题

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2021清华九推试题

1. 与线性变换有关, 疑似错题.

2. 设 \(A, B\) 为数域\(\mathbb{F}\)上 \(n\) 阶方阵.求证:

(1) 对 \(\forall \lambda \in \mathbb{F}\),均成立 \(\lambda I_{n}-A B\) 可逆 \(\Leftrightarrow \lambda I_{n}-B A\) 可逆.

(2)若 \(\operatorname{rank}(A B)=\operatorname{rank}(B)\), 则 \(\operatorname{rank}\left(A B^{2}\right)=\operatorname{rank}\left(B^{2}\right)\).

3. 设 \(V\) 为 \(\mathbb{C}\) 上的 \(n\) 维线性空间, \(\varphi\) 为 \(V\) 上的线性变换,其全体不同特征值为 \(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{r}\). 求证: \(\varphi\) 可 对角化 \(\Leftrightarrow\) 存在 \(1 \leqslant i \leqslant r\), 使得

\[\operatorname{Im}\left(\varphi-\lambda_{i} \mathcal{E}\right)=\oplus_{j \neq i} \operatorname{ker}\left(\varphi-\lambda_{j} \mathcal{E}\right) . \]

4. 设 \(f \in C[0,1]\). 对任意 \([0,1]\) 上的可微函数 \(g\) 均成立 \(\int_{0}^{1} f(x) g(x) d x=0\). 求证: \(f \equiv 0\).

5. 求证Green第二公式.

6. 与连续函数介值定理有关.

7. 设区域 \(D \subset \mathbb{C},\left\{f_{n}\right\} \subset H(\bar{D})\), 存在 \(\bar{D}\) 上的复变函数 \(f\),使得 \(\left\{f_{n}\right\}\) 在 \(D\) 上收敛于 \(f,\left\{f_{n}\right\}\) 在 \(\partial D\) 上一 致收敛于 \(f\).求证:

(1) \(\left\{f_{n}\right\}\) 在 \(D\) 中一致收敛于 \(f \in H(D)\).

(2) 若 \(\left\{f_{n}\right\}\) 是 \(D\) 中的单叶函数列, \(f\) 不是常值函数,则 \(f\) 也是 \(D\) 中的单叶函数.

2021清华内推

1. (10%) 已知复方阵 \(A \in M_{n}(\mathbb{C})\) 的特征多项式为 \((\lambda-1)^{n}\). 证明 \(A\) 与 \(A^{2}\) 相似.

2. (10%) 已知实对称方阵

\[A=\left(\begin{array}{lll} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right) \]

向量 \(x \in\left\{x \in R^{3} \mid x^{T} x=1\right\}\). 当 \(x\) 取何值时, \(x^{T} A x\) 取到最大值,最小值?

3. (10%) 已知域 \(\mathbb{F}\) 上的有限维线性空间 \(X, Y, U, V\), 以及线性映射 \(\alpha: X \rightarrow Y, \beta: V \rightarrow U, \psi: X \rightarrow U\),并且满足
   \(\operatorname{ker} \alpha \subseteq \operatorname{ker} \psi, \operatorname{Im} \psi \subseteq \operatorname{Im} \beta\)
   那么是否存在线性映射 \(\phi: Y \rightarrow V\) 使得

\[\psi=\beta \circ \phi \circ \alpha ? \]

若是请证明,否则举出一个反例.

4. (10%) 已知域 \(\mathbb{F}\) 上的方阵 \(A, B \in M_{n}(\mathbb{F})\),满足: \(A\) 是可逆矩阵, \(B\) 是幂零矩阵(即存在正整数 \(m\) 使得 \(B^{m}=0\) ). 证明:对任意 \(C \in M_{n}(\mathbb{F})\), 存在 \(X \in M_{n}(\mathbb{F})\), 使得

\[A X-X B=C \text {. } \]

5. (10%)设 \(E\) 为 \(\mathbb{R}\) 的非空子集,并且 \(E\) 上的任何连续函数都有界. 证明: \(E\) 为有界闭集.

6. (10%)已知 \(f(x)\) 是定义在 \([0,1]\) 上的处处非负的黎曼可积函数, 并且

\[\int_{0}^{1} f(x) d x=0 . \]

证明: \(f(x)\) 几乎处处为 0 .

7. (20%)计算 \(\mathbb{R}^{3}\) 中的区域

\[\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1, y^{2}+z^{2} \leqslant 1, z^{2}+x^{2} \leqslant 1\right\} \]

的体积.

8. (20%) 已知 \(f(z)\) 在单位圆盘 \(|z|<1\) 解析,并且 \(|f(z)| \leqslant \frac{1}{1-|z|}, \forall|z|<1\). 证明:对任意整数 \(n \geqslant 0\),

\[\left|f^{(n)}(0)\right| \leqslant(n+1) ! e . \]

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