L2-001 紧急救援

作为一个城市的应急救援队伍的负责人，你有一张特殊的全国地图。在地图上显示有多个分散的城市和一些连接城市的快速道路。每个城市的救援队数量和每一条连接两个城市的快速道路长度都标在地图上。当其他城市有紧急求助电话给你的时候，你的任务是带领你的救援队尽快赶往事发地，同时，一路上召集尽可能多的救援队。

输入格式:

输入第一行给出4个正整数N、M、S、D，其中N（2≤N≤500）是城市的个数，顺便假设城市的编号为0 ~ (N−1)；M是快速道路的条数；S是出发地的城市编号；D是目的地的城市编号。

第二行给出N个正整数，其中第i个数是第i个城市的救援队的数目，数字间以空格分隔。随后的M行中，每行给出一条快速道路的信息，分别是：城市1、城市2、快速道路的长度，中间用空格分开，数字均为整数且不超过500。输入保证救援可行且最优解唯一。

输出格式:

第一行输出最短路径的条数和能够召集的最多的救援队数量。第二行输出从S到D的路径中经过的城市编号。数字间以空格分隔，输出结尾不能有多余空格。

输入样例:

4 5 0 3
20 30 40 10
0 1 1
1 3 2
0 3 3
0 2 2
2 3 2

输出样例:

2 60
0 1 3

解题思路

题目要求最短路的前提下尽可能让救援队个数更多，并且需要求得最短路径的个数和具体最短路（救援队最多的最短路线）。很明显只需要在dijkstra算法的基础上增加一个最短路计数和救援队个数记录即可。

最短路计数

最短路计数用到的其实是一种动态规划的思想，初始情况下，到达源点最短路径个数记为1。当到达点v最短路可以由点u更新得更小时，到达点u最短路个数需要继承给到达v的最短路个数；如果到达点v的最短路距离和当前由u到达v的距离一样，此时说明有另一条同样长度的最短路，所以到达点v最短路个数需要加上到达点u的最短路个数。

救援队个数

而初始情况下的救援队个数，其实就是每个点的点权。也是一种动态规划的思想，初始情况下，到达源点的最多救援队个数记为源点处的救援队个数team[src]。当到达点v最短路可以由u更新得更小时，很明显，由于题中要求最短的前提下最多救援队个数，所以此时一定要更新到达v的最多救援队个数；当到达v的最短路距离此时和由u更新得到的最短路距离相等，此时就需要判断一下到达救援队个数是否可以更新得更大了，如果能更新得更大，记得别忘了更新v前驱为u。

输出答案

由于dijkstra记录的是最优路径上每个点的前驱，为了正序输出路径，可以先将所有点放入栈中，然后再依次去出，这样就正好是正序的路径了。

关于代码

我用的是堆优化版的dijkstra，用链式前向星存图，自己写这个比较顺手而已。（也可以用vector邻接表存图，用朴素dijkstra）

/*   一切都是命运石之门的选择  El Psy Kongroo  */
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<deque>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#include<bitset>
#include<cmath>
#include<functional>
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<int, pii> piii;
typedef pair<double, double> pdd;
typedef pair<string, pii> psi;
typedef __int128 int128;
#define PI acos(-1.0)
#define x first
#define y second
//int dx[4] = {1, -1, 0, 0};
//int dy[4] = {0, 0, 1, -1};
const int inf = 0x3f3f3f3f, mod = 1e9 + 7;

const int N = 510, M = N * N;
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
int n, m, src, des;
int team[N], team_to[N];   //team[i]表示点i上的队伍个数 team_to[i]表示到达点i的队伍总数
int num[N];   //num[i]表示到达点i的路径总数
int dist[N];  //最短路
int pre[N];   //pre[i]记录前驱
bool st[N];   

void add(int a, int b, int c){
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx ++ ;
}

void dijkstra(){
    memset(pre, -1, sizeof(pre));
    memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));
    dist[src] = 0, team_to[src] = team[src], num[src] = 1;  //初始情况
    priority_queue<pii, vector<pii>, greater<pii> > q;
    q.push({0, src});

    while(!q.empty()){
        auto [d, u] = q.top();
        q.pop();

        if(st[u]) continue;
        st[u] = true;

        for(int i = h[u]; ~i; i = ne[i]){
            int v = e[i], c = w[i];
            if(dist[v] > d + c){
                //距离更短 最短路个数要继承，同时更新队伍个数
                dist[v] = d + c;
                team_to[v] = team_to[u] + team[v], num[v] = num[u];
                q.push({dist[v], v});
                pre[v] = u;   //记录前驱
            }else if(dist[v] == d + c){
                //距离相等 最短路个数要累加
                num[v] += num[u];
                if(team_to[v] < team_to[u] + team[v]){
                    //如果当前队伍数小于可以更新的队伍数 则更新
                    team_to[v] = team_to[u] + team[v];
                    pre[v] = u;   //同时更新前驱
                }
            }
        }
    } 
}

void show(){
    int res[N], top = -1;
    int t = des;
    while(t != -1) res[ ++ top] = t, t = pre[t];   //具体路径放入栈中

    cout << num[des] << ' ' << team_to[des] << endl;  //输出路径总数 和 到达队伍总数
    while(top > 0) cout << res[top -- ] << ' ';  //输出具体路径
    cout << res[top];
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0), cout.tie(0);

    memset(h, -1, sizeof(h));
    cin >> n >> m >> src >> des;
    for(int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> team[i];
    while(m -- ){
        int u, v, c; cin >> u >> v >> c;
        add(u, v, c), add(v, u, c);
    }

    dijkstra();

    show();

    return 0;
}