250-like Number
题意
给定一个整数 \(n\)，求有多少小于等于 \(n\) 的满足以下条件的整数 \(k\)：
- \(k\) 可以被表示为 \(k = p \times q^3\)，其中 \(p \lt q\)，并且 \(p, q\) 均为质数。
数据范围
- \(1 \leqslant n \leqslant 10^{18}\)，\(n\) 是整数。
思路
首先，我们发现这个式子中有一个立方，这个肯定就是突破口，因为 \(p < q\)，所以 \(p < q \leqslant 10^6\)。
因为要求 \(p,q\) 均为质数，所以先要筛出所有 \(10^6\) 以内的质数。
根据突破口，我们可以发现枚举 \(q\) 是不会TLE的，那么考虑第一步枚举 \(q\)，并且随着 \(q\) 的增大，\(p\) 的取值范围是不会变小的！
那么做法就出来了，先预处理出所有 \(10^6\) 以内的质数，然后用双指针求出答案即可。
复杂度
- 时间：\(O(V\log\log V + n)\)，说实话有点险，不建议在比赛时这么做
- 空间：\(O(n)\)
Code
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#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
using ll = long long;
const int N = 1e6 + 10;
int f[N];
ll n, ans;
vector<int> v;
void ES () { // 埃氏筛筛出所有质数
f[1] = 1;
for (int i = 2; i <= 1e6; i++) {
if (f[i]) {
continue;
}
v.push_back(i);
for (int j = 2; i * j <= 1e6; j++) {
f[i * j] = 1;
}
}
}
int main () {
ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
ES();
cin >> n;
for (int i = 1, k = v.size() - 1; i < v.size(); i++) { // 枚举 q, 双指针求答案
ll j = 1ll * v[i] * v[i] * v[i]; // q 的立方
if (j > n) { // 超出范围
break;
}
for (; k >= 0 && 1ll * v[k] * j > n; k--) { // 移动 p 的范围
}
ans += min(i, k + 1); // 求答案，且 p 不能超过 q
}
cout << ans;
return 0;
}