群论小记

定义

群：一个集合 \(G\)，和一个定义在其元素上的二元运算，这里记为 \(*\)。

群需要满足的性质：

• 封闭性：\(\forall a, b \in G, a * b \in G\)
• 单位元：\(\exist e \in G, \forall a \in G, a * e = a\)
• 逆元：\(\forall a \in G, \exist b \in G, a * b = e\)，将这里的 \(b\) 记作 \(a^{-1}\)
• 结合律：\((a * b) * c = a * (b * c)\)

例子：膜 \(m\) 的完系与加法、膜 \(p\) 的缩系和乘法。

值得指出的是，\(G\) 中的元素可以是某种操作，此时 \(*\) 可以描述操作的复合。

后面一般不区分 \(G\) 与 \(*\) 构成的群，和集合 \(G\)。

现在来研究一个集合 \(S\) 和一个群 \(G\)，\(G\) 中的元素 \(g\) 是作用在 \(s \in S\) 中的操作，记为 \(g \cdot s\)，\(g_1, g_2 \in G\) 的复合的意义为先复合 \(g_1\) 再复合 \(g_2\) 。通常的计数问题要研究 \(S\) 经过 \(G\) 中的所有变换后可能出现的等价类的个数。

注意：\((g_1 * g_2) \cdot s = g_2 \cdot (g_1 * s)\)。

记 \(s\) 的轨 \(G(s)\) 为：\(\{g \cdot s | g \in G\}\)。容易发现 \(G(s) \sub S\)。

一个轨即一个等价类看似很直观，但之后将给予代数证明。故所求仅轨的种类。

轨的性质

性质一：\(\forall g \in G, s \in S, g \cdot s \in S\)。

性质二：若 \(G(a) \cap G(b) \neq \varnothing, G(a) = G(b)\)。

​ 设 \(t \in G(a) \cap G(b), g_1 \cdot a = t, g_2 \cdot b = t\)，则 \(\forall c \in G(a),g_3 \cdot a = c, (g_2^{-1} * g_1 * g_3) \cdot b = c\)。