动态规划：剑指 Offer 14- I. 剪绳子

题目描述：

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m-1] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？

例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

提示：

• 2 <= n <= 58

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        /*
        dp五部曲:
        1.状态定义:dp[i]为长度为i的绳子剪成m段最大乘积为dp[i]
        2.状态转移:dp[i]有两种途径可以转移得到
            2.1 由前一个dp[j]*(i-j)得到,即前面剪了>=2段,后面再剪一段,此时的乘积个数>=3个
            2.2 前面单独成一段,后面剩下的单独成一段,乘积为j*(i-j),乘积个数为2
            两种情况中取大的值作为dp[i]的值,同时应该遍历所有j,j∈[1,i-1],取最大值
        3.初始化:初始化dp[1]=1即可
        4.遍历顺序:显然为正序遍历
        5.返回坐标:返回dp[n]
        */
        // 定义dp数组
        int[] dp = new int[n + 1];
        // 初始化
        dp[1] = 1;  // 指长度为1的单独乘积为1
        // 遍历[2,n]的每个状态
        for(int i = 2; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= i - 1; j++) {
                // 求出两种转移情况(乘积个数为2和2以上)的最大值
                int tmp = Math.max(dp[j] * (i - j), j * (i - j));
                dp[i] = Math.max(tmp, dp[i]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

动态规划核心思想

动态规划最核心的思想，就在于拆分子问题，记住过往，减少重复计算。

dp五部曲:
        1.状态定义（确定dp数组及其下标含义）:dp[i]为长度为i的绳子剪成m段最大乘积为dp[i]
        2.状态转移（确定递推公式）:dp[i]有两种途径可以转移得到
            2.1 由前一个dp[j]*(i-j)得到,即前面剪了>=2段,后面再剪一段,此时的乘积个数>=3个
            2.2 前面单独成一段,后面剩下的单独成一段,乘积为j*(i-j),乘积个数为2
            两种情况中取大的值作为dp[i]的值,同时应该遍历所有j,j∈[1,i-1],取最大值
        3.初始化（dp数组初始化）:初始化dp[1]=1即可
        4.遍历顺序:显然为正序遍历
        5.返回坐标:返回dp[n]