1811E Living Sequence 两种解法

思维 进制转换 数位DP 无前导0 T3
Problem - 1811E - Codeforces

题目大意

从一个不含有数字4的递增序列中找第k个数并输出。
如 \(1,2,3,5,6,7,8,9,10,11,12\), \(k = 4\) 时输出 \(5\)。

思路1

有一个巧妙的解法：
考虑这个问题, 从一个没有限制的从1开始的递增序列找出第k个数, 显然就是十进制的k。而这里则可以定义新的进制为 "012356789" 9进制, 那么k对应的就是这个特殊的九进制数, 我们只需要把它转换为十进制就行。

二转十：

while(k)
	ans += k % 2, k /= 2;

九转十：

while(k)
	ans += k % 9, k /= 9;

代码1

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;
using LL = long long;
int a[20];
int cnt = 0;

int main()
{

    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(0);
    string s = "012356789";
    int T;
    cin >> T;
    while (T--)
    {

        LL k;
        cin >> k;
        cnt = 0;
        while (k)
            a[cnt++] = s[k % 9] - '0', k /= 9;
        for (int i = cnt - 1; i >= 0; i--)
            cout << a[i];
        cout << endl;
    }
}

思路2

也可以考虑数位DP, 定义 \(f(i,j)\) 为长度为i, 且最高位为j的数, 可以写出这样的初始化函数来得到 \([1,i]\) 的满足条件的数的个数：

void init()
{
    for (int i = 0; i <= 9; i++)
        if (i != 4)
            f[1][i] = 1;
    for (int i = 2; i <= N - 1; i++)
    {
        for (int j = 0; j <= 9; j++)
        {
            if (j == 4)
                continue;
            for (int k = 0; k <= 9; k++)
                f[i][j] += f[i - 1][k];
        }
    }
}

然后再实现查找前缀和 \([1,num]\) 的满足条件的数的个数, 题目中的 \(k\) 最大为 1e12, 直接二分结果, 找最左边且 \(dp(mid) = k\) 的值就是最终结果。

记得要处理前导0, 方法是在首尾不加上0开头的部分, 最后再加一遍所有长度小于 num.size() 的部分。

代码2

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;
const int N = 17;
typedef long long ll;
const ll INF = 1e17;
ll f[N][10];

void init()
{
    for (int i = 0; i <= 9; i++)
        if (i != 4)
            f[1][i] = 1;
    for (int i = 2; i <= N - 1; i++)
    {
        for (int j = 0; j <= 9; j++)
        {
            if (j == 4)
                continue;
            for (int k = 0; k <= 9; k++)
                f[i][j] += f[i - 1][k];
        }
    }
}

ll dp(ll x)
{
    if (!x)
        return 0;

    vector<int> nums;
    while (x)
        nums.push_back(x % 10), x /= 10;

    ll res = 0;
    for (int i = nums.size() - 1; i >= 0; i--)
    {
        int x = nums[i];
        for (int j = (i == nums.size() - 1); j < x; j++)
            res += f[i + 1][j];
        if (x == 4)
            break;
        if (!i)
            res++;
    }
    for (int i = 1; i <= nums.size() - 1; i++)
        for (int j = 1; j <= 9; j++)
            res += f[i][j];
    return res;
}

int main()
{
    init();

    int T;
    cin >> T;
    while (T--)
    {
        ll k;
        cin >> k;
        ll l = -1, r = 1e13;
        while (l != r - 1)
        {
            ll mid = l + r >> 1;
            if (dp(mid) < k)
                l = mid;
            else
                r = mid;
        }
        cout << r << endl;
    }
    return 0;
}