(本文转载并译自https://medium.com/@ayush2991/understanding-moving-average-models-34993b7c0d31,作者:Aayush Agarwal )
本文用简单的、说明性的例子解释了移动平均模型(ARIMA[p, q]中的MA[q]),并附有清晰的解释,帮助你形成对它们的直觉。
假设你今年被公司奖励,获得了100股该公司的股票。让我们用Y1表示今年,用A(1)表示奖励。还假设从明年开始,每年有25%的股票被你套现用作其它投资,为期四年。下面我们来看看随着时间的推移,未被套现投资(unvested)股票的数量(对应你的套现策略):
此外,在Y2,你又被授予100股,加上A(1)的75股未套现股份。让我们把这个奖励称为A(2)。它的套现时间表与A(1)相似,25%的股份在4年内套现。
如果你每年都以类似的方式被授予100股,那么前几年的未套现股份U(t)的数量将如下所示:
图1
我们观察到
- 前4年,未套现股票的总数U(t)从Y1的100增加到Y4的250。这个最初的上升过程用虚线表示。
- 在Y5及以后,未套现股票的数量没有增加。这是因为Y5年的100股新股收益被Y4、Y3、Y2和Y1年各25股的套现所平衡。达成了平衡,未套现股票的数量年复一年地稳定在250股。
- 在任何一年,未套现股票的数量U(t)等于该年授予的股票A(t)加上以前年份结转的未套现股票。由于所有的股份都是在4年内套现的,所以不存在(t-4)年或之前的未套现的股份。
接下来,我们将在系统中引入一个小小的 "冲击"。假设在Y9年,仅这一年,股票奖励只有20股,而不是通常的100股。这种冲击的影响将在Y9年感受得最严重,届时以前年度已套现的100股只补充了20股新股,与Y8年相比,账户中留下了80股未套现的赤字。它总共持续了4年--Y9、Y10、Y11、Y12。到了Y13年,所有在Y9年或之前授予的股票都已套现,它们不再影响未套现股票的库存。由于Y10年及以后的股票奖励是通常的100,所以U(t)最终稳定在以前的值250。
图2:U(t)从Y9的冲击中逐渐恢复过来
在确定了冲击的作用后,让我们考虑这样一种情况:每年的股票奖励不是一个常数C=100,而是*每年都有一个冲击成分ε(t)加入其中。冲击是从N(0, σ)中随机抽取的,是一个平均值为0、标准差为σ的高斯分布。
A(t) = C + ε(t), ε(t) ~ N(0, σ)
图3:使用σ=20的股票奖励模型
就像以前一样,U(t)是最近三次奖励的函数。
我们对U(t)的观察如下:
- 它以一个常数µ为中心,这就是第一项。
- 在每个时间步长t,它受到冲击ε(t)的扰动。这就是第二项。这个ε( t )已经从高斯分布中取样,与其他冲击值无关。
- 它是近期收到的冲击ε(t-1)、ε(t-2)和ε(t-3)的函数,而诸如ε(t-4)、ε(t-5)等先前项没有影响。这些是RHS上的其余项。
- 它偏离常数µ的幅度等于当前冲击ε(t)和最近的三个冲击ε(t-1)、ε(t-2)和ε(t-3)的加权平均数。随着时间的推移,这个加权平均值会发生变化。较新的现象被考虑在内,较旧的现象被遗忘。
让我们在图3中为A(t)的值绘制U(t)。
图4:未套现股票不再是一个常数
我们通常对U(t)等函数的行为感兴趣,在上升期过后,该函数在一段时间内稳定下来。例如,股票市场已经运行了几千天,工厂在经历了最初的启动期后有稳定的投入产出数量。如果我们去掉图4中的前3个异常数据点,这就是t≥4的U(t)的样子。
图5: 未投资的股票 U(t)是一个移动平均模型
这就是了! 这就是一个移动平均模型的例子。
由于U(t)取决于之前的3个冲击项,它是一个3阶的移动平均模型,表示为MA(3)。更一般地说,维基百科指出:
来自维基百科的表述
以上就是了解移动平均模型的全部内容!。
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