【组成原理-数据】浮点数的编码与运算

• 1 浮点数的格式
  • 1.1 符号 (S)
  • 1.2 阶码 (E)
  • 1.3 尾数 (M)
• 2 IEEE 754 标准
  • 2.1 短浮点数（float 型）
    • 短浮点数的解释
  • 2.2 长浮点数（double 型）
    • 长浮点数的解释
  • 2.3 相关例题
• 3 尾数的规格化
  • 3.1 原码尾数的规格化
  • 3.2 补码尾数的规格化
  • 3.3 双符号位补码尾数的规格化
• 4 浮点数的加减运算
  • 4.1 运算步骤
  • 4.2 舍入和溢出判断
    • 4.2.1 舍入的注意事项
    • 4.2.2 溢出的注意事项
  • 4.3 相关例题

1 浮点数的格式

浮点数的格式如下：

浮点数真值：N = (-1)S * 1.M * 2E-偏置值（E 表示阶码的无符号解释）

1.1 符号 (S)

符号位 S 取值 0 或 1，用来决定浮点数的符号。

1.2 阶码 (E)

阶码或指数 E 是一个二进制定点整数，用 n 位移码表示，其偏置值为2n-1-1，与定点数的移码偏置值相比，多减了 1，区别如下：

1.3 尾数 (M)

尾数 M 是一个二进制定点小数，一般用原码定点小数表示。

由于二进制浮点数要求规格化，因此尾数的最高位总是“1”，为了能使尾数多表示一位，将这个“1”隐藏，称为隐藏位。因此实际上 n 位尾数表示了 n+1 位有效数字。

2 IEEE 754 标准

IEEE 754 标准常用的格式有：短浮点数（单精度）和长浮点数（双精度）。

2.1 短浮点数（float 型）

格式：

• 浮点数真值：N = (-1)S * 1.M * 2E-127（E 表示阶码的无符号解释）
• 阶码范围（无符号解释）：1 ≤ E ≤ 254（0 和 255 作为特殊用途，不算其中）
• 阶码真值范围：-126 ≤ E ≤ 127（-128 和 -127 作为特殊用途，不算其中）

短浮点数的解释

【注】当 M 全 0 时尾数取最小值，此时表示的尾数为 1.0；当 M 全 1 时尾数取最大值，即 M = 1 - 2^-23，此时表示的尾数为 1 + M = 2 - 2^-23。

2.2 长浮点数（double 型）

格式：

• 浮点数真值：N = (-1)S * 1.M * 2E-1023（E 表示阶码的无符号解释）
• 阶码范围（无符号解释）：1 ≤ E ≤ 2046（0 和 2047 作为特殊用途，不算其中）
• 阶码真值范围：-1022 ≤ E ≤ 1023（-1024 和 -1023 作为特殊用途，不算其中）

长浮点数的解释

【注】当 M 全 0 时尾数取最小值，此时表示的尾数为 1.0；当 M 全 1 时尾数取最大值，即 M = 1 - 2^-52，此时表示的尾数为 1 + M = 2 - 2^-52。

2.3 相关例题

【例 1】将 (-8.25)₁₀ 转换为 IEEE 754 标准下的 32 位单精度浮点数。

化为二进制小数：(-8.25)₁₀ = (-1000.01)₂ = (-1.00001)₂ * 2³

符号位 = 1

尾数 = .00001 （隐含最高位 1）

阶码真值 = 3，阶码的偏移量 = 127D，阶码 = 真值+偏移量 = (3+127)₁₀ = (130)₁₀ = (1000 0010)₂（转化为无符号数）

浮点数：1,1000 0010,00001000000000000000000

划分好的浮点数：1100,0001,0000,0100,0000,0000,0000,0000 = C104,0000H

【例 2】将 IEEE 754 标准下的 32 位单精度浮点数 41A4C000H 转换为十进制小数。

划分好的浮点数：41A4C000H = 0100,0001,1010,0100,1100,0000,0000,0000

浮点数：0,1000 0011,01001001100000000000000

符号位 = 0（正数）

尾数 = .010010011（隐含最高位 1）= (1.010010011)₂ = (1 + 2^-2 + 2^-5 + 2^-8 + 2^-9)₁₀ = (1 + 0.25 + 0.03125 + 0.00390625 + 0.001953125)₁₀ = (1.287109375)₁₀

阶码 = (1000 0011)₂ = (131)₁₀（视为无符号数），阶码的偏移量 = 127D，阶码真值 = 131-127 = 4

十进制小数 = 1.287109375 * 2⁴ = 20.59375

【例 3】已知浮点数格式如下：阶码、尾数均用补码表示，且位数分别为 5 和 7（均含 2 位符号位，即 2 位阶符，2 位数符）。将 X = 2⁷*29/32 和 Y = 2⁵*5/8 化为浮点数。

【X】阶码真值 = 7，补码 = 111，阶码 = 00.111

尾数 = 29/32 = 16/32 + 13/32 = 16/32 + 8/32 + 5/32 = 16/32 + 8/32 + 4/32 + 1/32 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/32 = 2^-1 + 2^-2 + 2^-3 + 2^-5

所以尾数 = 00.11101

所以 X 的浮点数 = 00.111,00.11101

【Y】阶码真值 = 5，补码 = 101，阶码 = 00.101

尾数 = 5/8 = 4/8 + 1/8 = 1/2 + 1/8 = 2^-1 + 2^-3

所以尾数 = 00.10100

所以 Y 的浮点数 = 00.101,00.10100

3 尾数的规格化

规格化浮点数的尾数小数点后的第一位一定是一个非零数。此处默认基数为 2。不满足规格化的尾数需要进行左规或右规操作，注意规格化操作不包含符号位。

3.1 原码尾数的规格化

规格化原码尾数的小数点前是符号位，小数点后的第一位（即尾数最高位）一定是 1。

• 规格化原码的正尾数为0.1x···x
• 规格化原码的负尾数为1.1x···x
• 原码尾数规格化时，无论正数还是负数，左规和右规后的空位均补 0

【注】基数为 4 的原码规格化的尾数最高两位不全为 0。

【例】尾数用原码表示的浮点数为 0011111,1.0111···01，则该数需要规格化吗？

因为尾数为 1.0111···01，原码为负，小数点两边应全为 1，所以需要规格化。

将尾数左移一位，阶码减 1，结果为 0100000,1.111···010。

3.2 补码尾数的规格化

规格化补码尾数的符号位和尾数最高位是否相反，若是，则为规格化浮点数。

• 规格化补码的正尾数为0.1x···x
• 规格化补码的负尾数为1.0x···x
• 补码正尾数规格化时，左规和右规后的空位均补 0
• 补码负尾数规格化时，左规后的空位补 0，右规后的空位补 1

【例】尾数用补码表示的浮点数为 2⁵ * 1.10101，则该数需要规格化吗？

因为尾数为 1.10101，小数点两边符号相同，所以需要规格化。

将尾数左移一位，阶码减 1，结果为 2⁴ * 1.01010。

3.3 双符号位补码尾数的规格化

双符号补码位尾数的格式为00.1x···x或11.0x···x，在进行尾数运算（此时需化为双符号位补码尾数）时，可能会出现不符合的尾数，需要进行以下处理：

• 右规：形如01.x···x或10.x···x的尾数，此时溢出，需要右移一位，变为：0.x···x或1.x···x，最后补上双符号位的高位：00.x···x或11.x···x。只需右移一位，阶码加 1

【注】右规后，可能会出现形如00.0···01x···x或11.1···10x···x的尾数，需要再进行左规操作

• 左规：形如00.0···01x···x或11.1···10x···x的尾数，需要左移，变为：00.1x···x或11.0x···x。每左移一位，阶码减 1

【例】规格化：11.100,10.110001000

【解】11.100,10.110001000 --（尾数右移一位，阶码加 1）--> 11.101,1.011000100 --（尾数双符号位补全）--> 11.101,11.011000100

4 浮点数的加减运算

4.1 运算步骤

• 对阶：需要让两个操作数的阶码相等，小阶向大阶看齐
• 尾数求和
• 规格化（见 3.3 节）
• 舍入：截断法、恒置 1 法、0 舍 1 入法
• 溢出判断

4.2 舍入和溢出判断

4.2.1 舍入的注意事项

• 舍入的概念仅在浮点数适用
• 浮点数舍入只发生在对阶和右规操作。对阶时，尾数右移，此时就会产生舍入；同理，右规即右移，也会产生舍入
• 舍入不一定产生误差

4.2.2 溢出的注意事项

• 溢出分为尾数溢出和阶码溢出，阶码溢出分为阶码上溢和阶码下溢

• 阶码上溢（阶码全 1）可能发生在右规和尾数舍入。右规导致阶码加 1，可能发生阶码上溢；尾数若采用 0 舍 1 入法，则有可能导致尾数加 1，需要右规，阶码加 1，同样有可能发生上溢

• 阶码下溢（阶码全 0）可能发生在左规，因为左规导致阶码减 1，可能发生下溢

由此可见，尾数溢出可以由右规操作得到纠正，溢出的问题转移到阶码上。所以，看一个运算结果是否溢出，就需要看阶码是否溢出。由于浮点数的阶码下溢一般视作运算结果为 0，因而浮点数的溢出实际上是阶码上溢造成的。

• 尾数溢出时，结果不一定溢出，如向下舍入 11.00 到 11.0 是没有误差的

4.3 相关例题

【例】浮点数格式如下：阶码、尾数均用补码表示，且位数分别为 5 和 7（均含 2 位符号位，即 2 位阶符，2 位数符）。已知 X = 2⁷*29/32 和 Y = 2⁵*5/8 ，求浮点运算 X+Y。

【0. 化为浮点数】X 的浮点数 = 00.111,00.11101，Y 的浮点数 = 00.101,00.10100（见 2.3 节）

【1. 对阶】Y 的阶码更小，需要进行右规两次：Y = 00.111,00.00101

【2. 尾数相加】X + Y = 00.11101 + 00.00101 = 01.00010

【3. 规格化】00.111,01.00010 -->（右规一次）01.000,00.10001

【4. 溢出判断】阶码符号位为 01，说明发生了溢出